Descubrí la potencia de este método basado en el rastro de color dinámico el 8 de marzo de 2009. Pero no fue hasta algunos días después cuando surgió la oportunidad de aplicarlo a una investigación real. Con motivo del Seminario Intergeo/GeoGebra celebrado en el Centro Internacional de Encuentros Matemáticos, nos reunimos varios colegas en Castro Urdiales (Cantabria).

En el transcurso de la cena del 27 de marzo, Tomás Recio propuso la búsqueda de un lugar geométrico desconocido: dado un triángulo de vértices fijos A y B, encontrar las posiciones que puede ocupar el tercer vértice C para que coincidan las longitudes de los bisectores* (interno o externo) en A y B. Al aplicar el método, esa misma noche pudimos observar cómo aparecía la figura en forma de lágrima que corresponde al lugar geométrico en el que un bisector interno "a" tiene la misma longitud que el bisector externo "b".

*Denominamos bisector al segmento de extremos un vértice y la intersección de cada bisectriz (interna o externa) con el lado opuesto. Hay, pues, dos bisectores en cada vértice, uno interno y otro externo (Losada, Recio y Valcarce, 2009).

El lugar encontrado forma parte de una curva algebraica de grado 10. (No es posible distinguir algebraicamente un bisector interno de uno externo sin recurrir a inecuaciones, por eso este polinomio engloba más casos que el analizado en el escáner.)

La expresión para canal de color RGB es e^-|c|, donde c varía según el canal, lo que nos permite no solo mostrar (en blanco) el lugar geométrico buscado, sino también diferenciar por color las inecuaciones b < a (tonos rojizos) y a < b (tonos azules). Así, para el canal rojo, c = (a - b) b/a. Para el verde, c = a - b. Para el azul, c = (a - b) a/b.

Pentágono de área dada

Veamos un ejemplo sencillo. Dado un cuadrilátero de área 30, deseamos añadir un nuevo vértice de modo que al intercalarlo entre los otros cuatro (conservando su orden) el pentágono resultante tenga área 40. ¿Dónde debemos colocar ese nuevo vértice? Podemos tantear con intersecciones de la cuadrícula, pero así solo lograremos encontrar un punto válido.

Al pasar el escáner observamos que vale cualquier punto de un cuadrilátero de lados paralelos al original. Ahora podemos preguntar a nuestros alumnos: ¿Por qué? ¿Y cómo se construye ese nuevo cuadrilátero?

Una ventaja del uso de los mapas de calor es que los alumnos no pueden "hacer trampa" rebuscando la construcción en el archivo, pues el cuadrilátero que están visualizando no está construido, ni existe ninguna pista para construirlo.

Distancia al más lejano, la suma de distancias a los otros dos

Podemos plantear, de este modo, todo tipo de situaciones, desde las más sencillas como la anterior, hasta las más sofisticadas. Por ejemplo, en este caso partimos de tres puntos fijos dados y deseamos visualizar el lugar de los puntos que distan del más lejano la suma de distancias a los otros dos puntos. El resultado corresponde a los ceros de una curva algebraica de grado 4.

Tanto este ejemplo como los dos anteriores muestran lugares que no se pueden obtener con otras herramientas geométricas, ni siquiera con el comando LugarGeométrico.

Naturalmente

Si asignamos un número natural a cada píxel, podemos visualizar la distribución de colecciones de números naturales. En este ejemplo, he ordenado los píxeles siguiendo el orden occidental de lectura, es decir, de izquierda a derecha y de arriba abajo, de modo que el número 1 es el píxel de la esquina superior izquierda.

Así, en el primer cuarto de millón de números naturales, vemos la diferencia de distribución entre las sucesivas potencias de 2 (17 números), los números de Fibonacci (26), el número de lados de los polígonos construibles (166), los números cuadrados (500) y los números primos (22044). El bajo número de los tres primeros casos nos recuerda que, en esencia, los tres dependen de una exponencial. En el último caso, la imagen resultante puede servir de decoración de papel de regalo 🙂.

Los Elementos, libro I, proposición 47: teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

De acuerdo con la leyenda, sobre la puerta de la Academia de Platón estaba grabado "No entre quien no sepa Geometría" (AΓΕΩΜEΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕIΣ ΕIΣΊΤΩ). Podemos ver una réplica de esta frase en la fachada del edificio en el que estamos.

En la misma fachada, a la izquierda de esa frase, aparece la conocida figura del "molino" que representa el teorema de Pitágoras y, bajo ella, una demostración basada en la proporcionalidad de los lados de los triángulos semejantes (primer teorema de Tales) o en el teorema de la altura. Los mapas de color pueden servir de introducción a resultados teóricos como este. Tenemos un triángulo de base BΓ y nos preguntamos dónde debemos colocar el tercer vértice A para que la suma de las áreas de los cuadrados azules coincida con el área del cuadrado rojo.

Una vez obtenido el mapa, vienen las preguntas: ¿por qué aparece una circunferencia? ¿qué diámetro tiene? ¿cuánto mide el ángulo que abarca ese diámetro en cualquier punto de la circunferencia? Observemos que el mapa representa tanto al teorema de Pitágoras como a su recíproco, es decir, se cumple la relación entre los cuadrados si y solo si el triángulo es rectángulo, lo que sucede si y solo si (segundo teorema de Tales y su recíproco) el tercer vértice está en esa circunferencia.

Nota: En este caso, la información que aporta el mapa es similar a la que aportan los comandos EcuaciónLugar y Demuestra. Si llamamos a, b y c a los lados enfrentados respectivamente a A, B y Γ, EcuaciónLugar(a² ≟ b² + c², A) devuelve la circunferencia, mientras que si A es un punto de la circunferencia, Demuestra(a² ≟ b² + c²) devuelve "true".

Punto fijo

A veces solo nos interesa conocer la posición de un punto. Aquí vemos, como fondo de pantalla, una vista aérea del centro de Coimbra. Hemos contraído y distorsionado la imagen, y la hemos superpuesto. Según el teorema del punto fijo de Bannach, sea donde sea que posicionemos la segunda imagen (sin traspasar el perímetro de la primera) existe un único punto en el que ambas imágenes coinciden.

Ahora bien, lo malo de estos teoremas de existencia (y, en este caso, unicidad) es que en su demostración no aparece ninguna indicación de dónde se encuentra ese punto fijo (solo aparece un método de aproximaciones sucesivas). Nuestro escáner nos lo aclara, simplemente sometiendo a los puntos del escáner a la misma transformación. Así encontramos que, en este caso, el punto fijo se sitúa (cómo no 🙂) en la estatua de Dom Dinis.

Nota: Empleamos rastros de cuadraditos en vez de puntos para que el rastro no oculte la imagen.

Bajo el mismo ángulo

La relación buscada puede ser entre ángulos en vez de distancias. Esta construcción muestra el lugar geométrico de los puntos del plano que forman con ambos segmentos el mismo ángulo (o, dicho de otra manera, desde los que se ven ambos segmentos bajo el mismo ángulo). El escáner nos brinda una forma sencilla de mostrar un ejemplo de lugar geométrico enrevesado y discontinuo.

Además, permite proponer fácilmente problemas particulares con condiciones añadidas del tipo "¿y si...?". Por ejemplo, qué sucede si los segmentos son paralelos, o perpendiculares, o los cuatro extremos se sitúan en los vértices de un cuadrado, etc.

Un canal para cada condición

Esta construcción es una continuación lógica de la anterior. Dado el triángulo ABC, aplicamos el escáner con la condición, en cada uno de los canales, de que cada par de lados del triángulo se vea bajo el mismo ángulo. Los tres lugares geométricos obtenidos, cada uno con su color correspondiente, solo se cortarán en aquel punto en que los tres lados se vean con el mismo ángulo (primer centro isogónico, X(13)). Si todos los ángulos del triángulo son menores que 120º, este punto caerá en el interior del triángulo, coincidiendo con el punto de Fermat.

Cargas positivas y negativas

En este ejemplo, tenemos una distribución cualquiera de tres cargas eléctricas positivas (puntos azules) y otras tres negativas (puntos rojos). Si ahora introducimos una nueva carga, ¿dónde se producirá el equilibrio? Es decir, ¿en que posiciones será nula la resultante (suma vectorial) de las seis fuerzas (atractivas y repulsivas) de la nueva carga hacia las seis cargas existentes?

El escáner nos muestra, en blanco, las posiciones de equilibrio. Pero además, nos indica que las zonas blancas más amplias son mejores opciones, puesto que señalan más puntos donde el conjunto no se desequilibra demasiado, son zonas más "estables".

Nota: la imagen resultante corresponde a la introducción de una nueva carga negativa. Si fuese positiva, se obtendría la misma imagen solo que cambiando los azules por rojos y viceversa. Las zonas blancas de equilibrio permanecen, por tanto, invariables.

Puntos escamoteados

A diferencia de los métodos para representar curvas como los que usa GeoGebra, el escáner no utiliza ningún algoritmo, por lo que no existe el riesgo de que aparezcan "excepciones". Aquí vemos que algunos puntos de algunas curvas pueden no hacerse visibles mediante el método de trazado habitual. El escáner puede servir para volver a hacerlos visibles.

En el primer ejemplo, el origen de coordenadas no aparece como punto de la curva y³ - x³ + 4y² + 2x² = 0 en su representación gráfica habitual. En el segundo ejemplo, es toda una rama de la curva x⁶ + 3x⁴y - 4y³ = 0 la que no se visualiza. En el tercer ejemplo, es toda la curva x⁶ - 2x³y + y² = 0 la que permanece oculta. En los puntos escamoteados en todos estos ejemplos, la curva no cambia de signo, se anula sin que esto signifique un cambio de signo. Esto "despista" al algoritmo de trazado de curvas implícitas implementado en GeoGebra y otros programas de cálculo simbólico.

Nota: Algebraicamente, el primer polinomio, cuando y = 0, se puede factorizar como (-x + 2) x². El segundo polinomio se puede factorizar como (x² - y) (x² + 2y)². El tercer polinomio se puede factorizar como (x³ - y)².

Concurrencia de rectas

Veamos otro ejemplo geométrico. Los escáneres en los que cada punto forma parte de una construcción geométrica suelen ser más lentos que los que comparan expresiones algebraicas, pues cada fila de la Hoja de Cálculo ha de reproducir esa construcción geométrica.

En este ejemplo vemos cómo podemos visualizar relaciones como la concurrencia de varias rectas (o similares, como la alineación de varios puntos). En particular, nos interesa averiguar cuándo cuatro rectas de Euler concurren en el mismo punto.

Para ello, partimos de un triángulo ABC, que consideraremos fijo, y añadimos un cuarto punto libre D. Creamos las rectas de Euler de los triángulos ABD, ACD y BCD, y sus puntos de intersección con la recta de Euler de ABC. Las rectas serán concurrentes cuando la distancia entre esos puntos sea nula. Sabemos que uno de los puntos que buscamos es el incentro, pues las rectas de Euler de los cuatro triángulos concurren, en ese caso, en el punto de Schiffler. Pero, ¿dónde están el resto de los puntos, si es que hay más?

Cada punto del escáner hará las veces del cuarto vértice D del cuadrilátero ABCD. Tras pasar el escáner, podemos comprobar que el lugar buscado pasa por los centros del triángulo X(1) (incentro), X(3) (circuncentro), X(4) (ortocentro), X(13) (punto de Fermat o 1º punto isogónico), X(14) (2º punto isogónico), X(15) y X(16) (conjugados isogonales de X(13) y X(14)). Además, pasa -entre otros- por los excentros, las reflexiones de A, B y C sobre los lados opuestos, los vértices de los triángulos equiláteros construidos sobre los lados...

Toda esta información señala a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y a la cúbica de Neuberg como el lugar geométrico al que debe pertenecer el cuarto vértice D para que concurran las rectas de Euler del cuadrilátero ABCD. Podemos así concluir que, para cumplir esa condición, el cuadrilátero ABCD debe ser cíclico o bien uno de sus vértices debe pertenecer a la cúbica de Neuberg determinada por el triángulo formado por los otros tres.

Descubrimiento de lugares difícilmente algebrizables

En muchas ocasiones, la gráfica del lugar que aparece al pasar el escáner es difícil de algebrizar con exactitud. Pero incluso si lo que perseguimos es la expresión algebraica de un lugar geométrico, la visualización que nos ofrece el escáner facilita en gran medida su búsqueda. La forma de la curva o trazos visualizados ayudarán a comprender la naturaleza del lugar y el hallazgo de algunos puntos notables o singulares.

En este ejemplo, el paso del escáner encuentra la bisectriz entre dos curvas, es decir, el lugar geométrico de los puntos el plano que equidistan de ambas curvas (Adamou, 2013). El resultado nos permite calcular dos arcos de elipse que se aproximan mucho al lugar buscado, lo que puede ser suficiente en numerosas aplicaciones (arquitectura, robótica, etc.)

Ecuación logística

En este ejemplo, usamos los canales HSL (ver Apéndice II) para variar el color del diagrama de bifurcación de la ecuación logística x_n+1 = r x_n (1 - x_n) a medida que aumenta el valor del coeficiente r desde 2.9 hasta 4 (con x₀ entre 0 y 1, por ejemplo 0.4). El estudio de esta ecuación fue uno de los detonadores del nacimiento de la Teoría del caos.

Imágenes secuenciales e imagen de fondo

Como GeoGebra permite exportar e importar imágenes, podemos usar las gráficas obtenidas para colocarlas de fondo de pantalla y realizar exploraciones sobre ellas.

Podemos exportar la vista gráfica para diferentes iteraciones y después visualizarlas secuencialmente. De este modo, se puede apreciar cómo se va formando el fractal.

También podemos observar cómo las series de potencias forman, para cada número complejo, polígonos, espirales y otras formas geométricas.

Otros fractales

El conjunto de Mandelbrot no es el único fractal que podemos escanear. Vale cualquiera que se obtenga por sucesivas iteraciones en cada punto (definido como número complejo), como los conjuntos de Julia. Por ejemplo, podemos generar un fractal de Newton generalizado. (Ver su creación en el Apéndice II.)

Proyección de un amasijo de tenedores, cuchillos y cucharas. Lunch With a Helmet On (Almuerzo con casco), Shigeo Fukuda (1987).

Funciones complejas de variable real

La fórmula de Euler establece la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja. Richard Feynman se refirió a esta igualdad como la más notable fórmula matemática.

e^xi = cos(x) + i sen(x)

Podemos representar esta igualdad funcional en 3D. Como x es un número real (un ángulo en radianes), la función f(x) = e^xi es de variable real con imagen compleja. La ecuación dice que esta imagen tiene por parte real el coseno, y por parte imaginaria el seno, de ese ángulo x. En la construcción, la parte real (coseno) es la gráfica verde (el plano XY es real), mientras que la parte imaginaria (seno) es la gráfica azul.

El punto amarillo recorre la gráfica de esa función. El segmento naranja, que siempre mide la unidad, indica su módulo. En la parte derecha puedes ver la proyección de ese punto en el plano complejo YZ. El ángulo rojo, que se denomina fase o argumento principal, representa a x (módulo 2𝜋, es decir, en (-𝜋, 2𝜋], pues los valores de la función son periódicos). El valor del color del rastro del punto proyectado es proporcional al valor del coseno y el seno.

Como consecuencia de la fórmula de Euler, se obtiene (cuando x vale 𝜋) una de las más bellas y famosas igualdades matemáticas, la identidad de Euler.

Funciones complejas de variable compleja: Fase sobre módulo (dominio coloreado)

También podemos visualizar, de modo análogo, el módulo como superficie y la fase como color. A esta representación se le conoce como "dominio coloreado" (Breda, Trocado & Santos, 2013). Para resaltar los cambios de color, se sustituyen los canales RGB por HSL. También podemos añadir líneas de nivel.

La idea consiste en asignar un patrón de color a un rectángulo del plano complejo (patrón que podemos observar seleccionando la vista XZ de f(z) = z) y observar su transformación (rotación, reflexión, etc.) al elegir otra función compleja, como la del apartado anterior.

En el caso de la función f(z) = e^zi, podemos observar que la fase depende únicamente de la parte real de z.
 

De izquierda a derecha, las imágenes de los dominios coloreados de cos(z), i sen(z) y e^zi.

Rastro de tiempo

Reloj de la torre de la Universidad de Coímbra

Registro del tiempo

Del mismo modo que hemos visto que podemos crear una lista de posiciones, gracias al comando TomaTiempo() podemos crear una lista que almacene los datos del tiempo real transcurrido. Esto nos permite simular experimentos cinemáticos sin usar ni fórmulas ni trayectorias predefinidas (Losada, 2024). Veamos algunos ejemplos (un par de ejemplos más, como la Tautócrona o la Braquistócrona, pueden verse en el Apéndice III).

Caída por un plano

El movimiento de caída libre se produce demasiado rápido para que en tiempos de Galileo se pudiese observar con precisión. Gracias al plano inclinado, que ralentiza la caída, Galileo pudo realizar mediciones con suficiente exactitud para llegar a la conclusión de que la velocidad de caída varía uniformemente en cada unidad de tiempo.

Péndulo simple

En este ejemplo el rastro es triple: el rastro del tiempo nos permite medir el período del péndulo, mientras que mediante el rastro de color dinámico podemos visualizar los cambios en la velocidad (máxima para el rojo) al mismo tiempo que un punto traza la gráfica de la elongación angular en función del tiempo. Y todo ello sin hacer uso de la trigonometría ni de ecuaciones diferenciales.

Usamos HSL para resaltar los cambios de color. El registro del tiempo nos permite comprobar que, en general, el péndulo simple no sigue un Movimiento Armónico Simple (MAS). Solo se aproxima mucho a él cuando la amplitud angular es pequeña (menor de 10º, aproximadamente), pero incluso para una amplitud de 45º las gráficas son similares. Aumentando la amplitud, podemos comprobar que, en realidad, la gráfica no es una sinusoidal.

A partir de 130º, el cálculo aproximado del período teórico conlleva trabajar con números demasiado elevados, por lo que GeoGebra no lo puede calcular con suficiente precisión, mientras que el período de la animación sigue ajustándose bastante bien al modelo ideal. Para amplitudes mayores de 175º, el período seguiría aumentando y tiende a infinito al acercarse la amplitud a 180º.

Péndulo doble

Si colocamos un péndulo en el extremo móvil de otro, obtenemos un péndulo doble. Aunque cada uno de ellos se sigue rigiendo por el período estable de un movimiento ordenado, su movimiento combinado resulta caótico.

Podemos aprovechar la poligonal generada por el rastro para estimar la longitud recorrida por el segundo péndulo. Además hemos usado los canales HSL para añadir un segmento cuyo rastro es más claro cuanto mayor sea la velocidad.

Efecto dominó

Podemos visualizar el efecto dominó encadenando una serie de péndulos. También podemos comprobar que la velocidad de propagación del movimiento no es proporcional a la gravedad. Aunque la gravedad en la superficie terrestre es unas 6 veces mayor que en la superficie lunar, la velocidad de propagación en la Tierra es solo del orden del doble, o menos, que en la Luna (cuanto menor sea la distancia entre las fichas, menos diferencia habrá).

El péndulo de Foucault en la Universidad de Coimbra

Hace exactamente 10 años aparecía la noticia de la inauguración (el día 25 de octubre) del péndulo de Foucault en la Universidad de Coimbra.

Si aplicamos al tiempo una escala 1:3600, podemos visualizar una vuelta completa de la Tierra en solo 24 segundos (pero solo colocando el péndulo en uno de los polos). Esta escala de tiempo nos permite observar el comportamiento del péndulo de Foucault en cualquier punto terrestre. Si lo colocamos en el hemisferio norte, la rotación aparente del plano del péndulo se realizará de modo retrógrado (sentido horario), mientras que el hemisferio sur se realizará de modo directo (sentido antihorario).

Geometría elíptica. Posición y tiempo

El paso del tiempo también deja su rastro en otros astros, además de la Tierra. El conocimiento de la posición de estos astros, como el Sol, la Luna y las estrellas, puede indicarnos en qué punto de la Tierra nos encontramos en un instante dado.

Podemos elegir la zona horaria (dentro de tres días Portugal pasa de UTC+1 a ser UTC+0), la fecha y hora (o pulsar "Ahora") o un solsticio o equinoccio. También podemos mover hasta 3 puntos (A, B y C) sobre la superficie esférica (aparecerá un rótulo con la ciudad más cercana, o bien Coimbra o bien otra que sea capital o tenga más de un millón de habitantes; pulsando sobre ese texto el punto irá a esa posición).

Rastro 2D ↔ 3D

Ptolomeo denominaba Cosmografía a la combinación de Matemáticas, Geografía y Astronomía que ayudaba a la representación del mundo. Su estudio ha sido esencial desde los principios de la Edad Moderna, cuando los marinos españoles y portugueses necesitaban esos conocimientos, entre otros, para cruzar con éxito el océano Atlántico.

Gracias a los guiones, podemos transmitir cualquier acción en un objeto a otro... y viceversa. En este ejemplo, se transmite la posición de un punto en el globo terrestre (superficie esférica en la vista 3D) a su correspondiente posición en la proyección cilíndrica conocida como mapa de Mercator (vista 2D). Y recíprocamente. Así, cualquier rastro del primer punto se convierte en el rastro correspondiente del segundo, y viceversa.

En esta construcción se puede observar la diferencia entre las curvas ortodrómica (mínimo recorrido) y loxodrómica (rumbo constante). Recordemos que el descubridor de esta curva fue Pedro Nunes, genial matemático portugués del siglo XVI cuyos últimos 34 años los vivió aquí, en Coimbra (donde hoy un centro tecnológico y una calle comparten su nombre). Nunes se dio cuenta de que esa curva no era, en general, una circunferencia, sino una hélice esférica.

¡Cómo le habría gustado a Nunes y a los famosos exploradores y descubridores haber podido jugar con una construcción como esta! (La siguiente imagen se encuentra en el parque Portugal dos Pequenitos, aquí en Coímbra, uno de los primeros parques de miniaturas del mundo; generalmente, un niño reconoce un mapa mundi antes de saber multiplicar. Y, si hubiera más Mundo, habría llegado hasta allí, Luís de Camões, Los lusiadas, VII-14, último verso.)

Conclusión

Gracias a la observación de todos estos rastros, GeoGebra nos ayuda a explorar las relaciones Matemáticas en el plano, en el espacio y hasta en el tiempo.

Agradecimientos

Ante todo, deseo expresar mi agradecimiento particular al profesor José Manuel Dos Santos y, en general, al comité organizador de este congreso, por invitarme a participar en él.

Como ya es habitual, también quiero agradecer al profesor Tomás Recio su interés, conocimiento y ayuda, durante muchos años, en diferentes aspectos de los temas aquí tratados.

Agradezco también a a Mariló Fernández Mira las fotos de los arcos y rosetones del claustro de la Sé Velha de Coimbra.

Finalmente, debo recordar al profesor António Ribeiro por su aportación en el antiguo foro de GeoGebra para la mejora de la estética del método de rastro de color.

El autor

En mis 40 años de docencia como profesor de Enseñanza Secundaria, en la búsqueda de incentivar el interés del alumnado, he investigado la conexión de las Matemáticas con otras áreas, cercanas o implícitas, tan diversas como la Resolución de problemas, los Juegos, la Percepción y la Música. La llegada de la Geometría Dinámica supuso nuevas y grandes oportunidades para atraer a los estudiantes y promover la creación de sus propias construcciones.

 

Mi relación con GeoGebra se remonta a 2005, año en que conocí este programa creado por Markus Hohenwarter, aunque ya había trabajado con otros programas de geometría dinámica. Dos años después, en 2007, el profesor Tomás Recio me convoca al Centro Internacional de Encuentros Matemáticos (CIEM, Cantabria) que reunió, entre otros, a varios profesores de secundaria españoles pioneros en el uso didáctico de la geometría dinámica. En esa reunión defendí la eficiencia de GeoGebra (Losada, 2007) frente a otros programas como Cabri. Una consecuencia de ese encuentro fue la formación del grupo G⁴D, constituido por J.M. Arranz, J.A. Mora, M. Sada y el que esto escribe.

 

Dos años más tarde, desde el Ministerio de Educación de España, Antonio Pérez, entonces director del Instituto de Tecnologías Educativas (ITE, hoy INTEF), me encarga la realización de cursos para la formación en GeoGebra del profesorado de Educación Primaria y Secundaria, así como la creación de un conjunto de actividades completas (introducción del tema, construcción a explorar y cuestionario) para el alumnado, clasificadas por temas y niveles, que bautizamos como Proyecto Gauss (al que un cambio político en Asturias interrumpió abruptamente). Simultáneamente, Tomás pone en marcha el primer Instituto GeoGebra en lengua española, el Instituto GeoGebra de Cantabria, del cual soy Formador desde su creación.

Bibliografía y referencias

• Tacquet, A. (1683). Elementa geometriae planae ac solidae, quibus accedunt selecta ex archimede theoremata [Elementos de geometría plana y sólida, a los que se añaden teoremas seleccionados de Arquímedes.]. Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico.

• Byrne, O. (1847). The first six books of The Elements of Euclides [Los primeros seis libros de Los Elementos de Euclides]. William Pickering.

• Coxeter, H.S.M. & Greitzer, S.L (1967). Geometry Revisited [Geometría revisitada]. New Mathematical Library. The Mathematical Association of America.

• Coxeter, H.S.M. (1979). The non-euclidean symmetry of Escher's picture Circle Limit III [La simetría no euclídea del cuadro Círculo Límite III de Escher]. Leonardo, Vol. 12, pp. 19-25 Pergamon Press, Great Britain.

• Coxeter, H.S.M. (1997). The Trigonometry of Hyperbolic Tessellations [La trigonometría de las teselaciones hiperbólicas]. Canadian Mathematical Bulletin.

• Ortega, E., Ortega, I., Ortega, T., Crespo, C. (2005) La motivación de la belleza. UNIÓN (Revista Iberoamericana de Educación Matemática) Nº 2.

• Losada, R. (2007). GeoGebra: la eficiencia de la intuición. La Gaceta de la RSME, vol. 10.1.

• Hart, S. (2007) Escher and Coxeter - A Mathematical Conversation [Escher y Coxeter: una conversación matemática]. Gresham College.

• Barth, Amanda (2007). Tessellations: The Link Between Math and Art [Teselaciones: el vínculo entre Matemáticas y Arte]. Trinity University. San Antonio.

• Losada, R. (2007-2009). Música y Matemáticas (enlace roto). G⁴D en Divulgamat. Real Sociedad Matemática Española. Libro de GeoGebra.

• Conway J.H., Burgiel H. & Goodman-Strauss C. (2008) The Symmetries of Things [Las simetrías de las cosas]. A K Peters. Wellesley. Massachusetts.

• Arranz, J.M., Losada, R., Mora, J.A. y Sada, M. (2008). Arcos con geometría dinámica (GeoGebra) I y II. Matematicalia, vol. 4, nº 1 y 2, Real Sociedad Matemática Española. Libro de GeoGebra.

• Arranz, J.M., Losada, R., Mora, J.A. y Sada, M. (2009). Geometría en rosetones góticos (enlace roto). G⁴D en Divulgamat. Real Sociedad Matemática Española. Libro de GeoGebra.

• Losada, R. (2009). Magic color: Ghost constructions (enlace roto) [Color mágico: Construcciones fantasma]. GeoGebra User Forum.

• Losada, R., Recio, T. y Valcarce, J.L. (2009). Sobre el descubrimiento automático de diversas generalizaciones del Teorema de Steiner-Lehmus. Boletín de la Sociedad "Puig Adam" de profesores de matemáticas, nº 82, pp. 53-76. Universidad Complutense de Madrid. Versión inglesa: On the automatic discovery of Steiner-Lehmus generalizations (2010, J. Richter-Gebert y P. Schreck, editores, München, pp. 171–174).

• Losada, R. (2009). GeoGebra en la Enseñanza de las Matemáticas. Ministerio de Educación y Formación Profesional. CD-ROM. ISBN: 978-84-369-4794-6.

• Losada, R. y Álvarez, J.L. (2010). GeoGebra en la Educación Primaria. Ministerio de Educación y Formación Profesional. CD-ROM. ISBN: 978-84-369-4909-4.

• Losada, R. (2010). De luz y de color (enlace roto). G⁴D en Divulgamat. Real Sociedad Matemática Española. Libro de GeoGebra.

• Losada, R. (2010). Creador de rosetones. Proyecto Gauss. Instituto Nacional de Tecnologías Educativas. Libro de GeoGebra.

• Álvarez, J.L. y Losada, R. (2011). El proyecto Gauss. Revista SUMA, nº 68, pp. 17-25.

• Losada, R., Recio, T. y Valcarce, J.L. (2011). Equal Bisectors at a Vertex of a Triangle [Bisectores iguales en un vértice de un triángulo]. Computational Science and Its Applications - ICCSA.

• Breda, A., Trocado, A. & Santos, J. (2013). O GeoGebra para além da segunda dimensão [GeoGebra más allá de la segunda dimensión]. Indagatio Didactica, 5(1). Universidade de Aveiro.

• Adamou, I. (2013). Curvas y superficies bisectrices y diagrama de Voronoi de una familia finita de semirrectas paralelas en R³, tesis doctoral.

• Losada, R. (2014). El color dinámico de GeoGebra. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, vol. 17.3, 525–547. Libro de GeoGebra.

• Requena, A. (2014). De azulejos y matemáticas. XV Congreso de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas.

• Akiyama, J. & Matsunaga, K. (2015) Treks into Intuitive Geometry, The World of Polygons and Polyhedra [Incursiones en la geometría intuitiva, el mundo de los polígonos y poliedros]. Springer Japan.

• Losada, R. (2016). La Tierra y el Sol. Libro de GeoGebra. Versión inglesa (incompleta): Earth and Sun.

• Losada, R. y Recio, T. (2021). Mirando a los cuadros a través de los ojos de Voronoi. Boletín de la Sociedad "Puig Adam" de profesores de matemáticas, vol. 112, pp. 32–53. Libro de GeoGebra.

• Losada, R. (2021). Variable compleja. Libro de GeoGebra.

• Losada, R. (2021). Julia y Mandelbrot. Libro de GeoGebra.

• Losada, R. (2021). Redes y grafos: Las comunicaciones y la logística. Exposición Matemáticas para un mundo mejor. Red DiMa, Día Internacional de las Matemáticas.

• Durán, A.J. (2021). Matemáticas y belleza. Exposición Matemáticas para un mundo mejor. Red DiMa, Día Internacional de las Matemáticas.

• Pérez, A. (2021). Fractales, la Geometría del Caos. Exposición Matemáticas para un mundo mejor. Red DiMa, Día Internacional de las Matemáticas.

• Recio, T., Losada, R., Kovács, Z. y Ueno, C. (2021). Discovering Geometric Inequalities: The Concourse of GeoGebra Discovery, Dynamic Coloring and Maple Tools [Descubriendo desigualdades geométricas: El concurso de GeoGebra Discovery, coloración dinámica y herramientas de Maple]. Mathematics 9 (20), 2548.

• Losada, R. (2022). Mapas de c@lor con GeoGebra. Revista SUMA, nº 102, pp. 43-57. Libro de GeoGebra.

• Losada, R. (2023). La geometría del Taxi. Boletín de la Sociedad "Puig Adam" de profesores de matemáticas, vol. 116, pp. 10-37. Libro de GeoGebra.

• Losada, R. (2023). GeoGebra Principia. Conferencia de clausura del I Congreso Internacional de GeoGebra. Libros de GeoGebra: español, portugués, inglés.

• Losada, R. (2024). El dominio del Tiempo (cinemática intuitiva). Conferencia en el V Día GeoGebra de España. Libros de GeoGebra: español, inglés.

• Losada, R. (2025). La fábrica de teselados. Libro de GeoGebra.

• Losada, R. (2025). Se hace camino al andar. UNIÓN-Revista Iberoamericana de Educación Matemática, vol. 21, nº 73.

• Losada, R. (2025). Teselaciones regulares. Libro de GeoGebra.

Apéndice I (rastro de color)

Rastro de rectas: envolventes

Un ejemplo típico del uso del rastro es la visualización de familias de curvas o rectas. En este ejemplo, la visualización es doble. A la izquierda, es la función y = sen(x + k) la que varía el valor k, mientras el punto de tangencia se mantiene en x = 0. A la derecha, es el punto P de la gráfica de y = sen(x) el que se desplaza.

Las tangentes en x = 0 de las gráficas de las funciones f(x) = sen(x + k) son las rectas y = cos(k) x + sen(k). La envolvente de esta familia de rectas es la hipérbola equilátera y² - x² = 1, cuyas asíntotas son las rectas y = ±x (k = 0 o k = 𝜋).

Así, para el punto P, el rastro de las rectas (k = x(P)), enmarcado por esas asíntotas, formará una cuadrícula en el plano. También podemos construir directamente la cuadrícula usando Secuencia(Recta((k 𝜋, 0), (k 𝜋 + 1, cos(k 𝜋))), k, -10, 10).

Apéndice II (rastro dinámico)

Ruido blanco

Podemos usar las coordenadas cartesianas como parte de la condición de cada canal RGB, lo que permite dividir la pantalla en diferentes zonas según nuestros intereses.

Si en cada canal RGB colocamos la función random(), que genera un número aleatorio entre 0 y 1, obtenemos una imagen en el que el color de cada píxel es independiente del vecino. Esto se denomina ruido blanco o nieve electrónica, la conocida imagen (en escala de grises en las televisiones en blanco y negro) producida por las antiguas televisiones analógicas cuando no sintonizaban ningún canal.

Ahora bien, si en uno de los canales RGB, por ejemplo el verde, sustituimos la función random() por una expresión algebraica, la gráfica correspondiente resaltará sobre el fondo caótico. En este ejemplo, la expresión para el canal verde es e^-|c|, donde c = |P-A| |P-B| |P-C| - 25, es decir, un óvalo de Cassini generalizado a tres puntos A, B y C.

HSL

Aunque normalmente no es preciso, si necesitamos diferenciar con colores más de tres objetos, podemos sustituir los canales RGB por HSL (Matiz, Saturación, Luminosidad). El modo de gestionarlo es algo más complicado. En este ejemplo hemos diferenciado las circunferencias de radio r y centros A, B, C, D y E con estas expresiones:

Matiz: 0.1exp(-5||P-B|-r|) + 0.2exp(-5||P-C|-r|) + 0.4exp(-5||P-D|-r|) + 0.5exp(-5||P-E|-r|)

Saturación: 1

Luminosidad: 0.5 (exp(-5||P-A|-r|) + exp(-5||P-B|-r|) + exp(-5||P-C|-r|) + exp(-5||P-D|-r|) + exp(-5||P-E|-r|))

Cortes proporcionales

Sustituir en los canales de color la función exponencial por otras expresiones puede generar imágenes inesperadas. En este ejemplo, la hemos sustituido por una fracción que no siempre toma un valor finito (puntos en negro).

Dados un triángulo y un radio r (en este caso, r = 2), se busca el centro de la circunferencia de radio r que corte a los lados del triángulo en cuerdas proporcionales a sus longitudes. El centro buscado es la intersección de tres hipérbolas.

Esta circunferencia corresponde además a la posición del círculo de radio r que solapa al triángulo en un área máxima.

Misma área y circunferencia inscrita

En este caso, vemos un triángulo de área 30 u² y su círculo inscrito. Dos vértices están en una horizontal (y = -2). Queremos averiguar dónde debe estar el tercer vértice para que se conserve tanto el círculo inscrito como el área del triángulo (siempre con base en la recta y = -2, pues consideramos equivalentes los triángulos congruentes).

Nota: algebraicamente, vemos los puntos (x - y, x y + 1) 2/(x y - 1) donde (x, y) es un punto de la curva 2 x² y + 2 x y² - 15 x y + 15 = 0.

Fractal de Newton generalizado

Podemos generar un fractal de Newton generalizado usando la iteración:

z_n+1 = z_n + a p(z)/p'(z)

Hemos elegido el polinomio complejo p(z) = (z² + 9)(z - 4) y el número a = 1 + i. Las raíces del polinomio (puntos atractores) son los puntos rojo, verde y azul. Cada punto del fractal está coloreado según la distancia (después de varias iteraciones) a las raíces, por lo que adquirirá la misma tonalidad que el de la raíz a la que converge.

Apéndice III (rastro de tiempo)

Estas animaciones simulan el movimiento en tiempo real, despreciando el rozamiento. No hacen uso de fórmulas (ni trigonometría ni ecuaciones ni cálculo diferencial), solo realizan las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento.

Tirolina

La carga de una tirolina ideal (es decir, sin rozamiento) se comporta de modo similar al del péndulo doble. La diferencia estriba en que ahora la polea (el primer péndulo) no traza un arco de circunferencia, sino un arco de catenaria. Al colgar una carga, la polea divide el cable en dos arcos de catenarias diferentes. Si el peso de la carga es grande, podemos estimar que esos arcos son prácticamente rectos (aunque físicamente nunca lo serán exactamente), con lo que la polea recorrerá un arco de elipse, pues su recorrido está determinado por la longitud del cable, que es la suma de las distancias de la polea a los extremos A y B. Como la elipse es una curva mucho más simple que la catenaria, elegimos esta opción.

Aprovechamos el guion del deslizador "anima" para registrar la máxima velocidad alcanzada. Así, podemos observar que la carga (punto rojo) puede llegar a moverse más rápido que la polea de enganche al cable (punto azul). En la realidad, la carga suele estar muy cerca de la polea, lo que minimiza, junto con el rozamiento, los vaivenes producidos por la carga.

Tautócrona ("tiempo igual")

La cicloide es la única curva que tiene la propiedad de ser una curva tautócrona , es decir, el tiempo que le lleva a una masa que se desliza sin rozamiento en gravedad uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto de partida. Huygens descubrió que ese tiempo es 𝜋/2 veces el tiempo de caída libre desde la altura del diámetro del círculo que genera la cicloide. Es decir, el período de oscilación de los tres puntos es siempre el mismo.

Braquistócrona ("tiempo mínimo")

La cicloide es la curva de descenso más veloz para ir desde H hasta P. Hemos añadido la circunferencia que pasa por H, S y P, pues Galileo creía que la braquistócrona debería ser esa circunferencia (línea verde), pero se equivocó (aunque no por mucho) como puedes comprobar en la construcción. En realidad, el punto verde realiza un movimiento pendular, cuyo período de oscilación es algo mayor que el de la cicloide. Lo que resulta muy evidente es que la línea recta está muy lejos de ser la mejor opción (aunque mejora cuanto mayor sea su pendiente, es decir, cuanto más próximo se encuentre P de H).