GeoGebra, el explorador matemático Vista cenital de la Estatua de Dom Dinis, con la inscripción UNIVERSITATIS COIMBRIGENSIS geogebra.es/coimbra Rafael Losada Liste rafael.losada@gmail.com II Congreso Internacional de GeoGebra Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias y Tecnología Universidad de Coímbra 23-25 octubre 2025
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> Secciones Rastro humano Rastro de color Rastro de color dinámico Rastro de tiempo | Resumen Te encuentras en un lugar salvaje y desconocido. No llevas ropa. Tienes sed, hambre y frío. Todo es extraño. Estás desorientado y no sabes qué hacer, ni dónde ir, ni cómo moverte. De pronto, descubres un arcón. En él encuentras ropa y calzado, agua y víveres, un botiquín, una brújula, un mapa detallado, y todo tipo de herramientas y utensilios para protegerte y abrirte paso. Tienes 15 años. Las matemáticas son un misterio para ti, algo que te da miedo. Pero acabas de descubrir GeoGebra. En esta presentación mostraré algunos ejemplos de cómo podemos aprovechar eficazmente esas herramientas para explorar sin temor alguno el universo de las Matemáticas. Todas las construcciones han sido realizadas, con GeoGebra 5, por el presentador. Ninguna construcción hace uso ni de guiones JavaScript ni de herramientas personales. Las visualizaciones son en tiempo real, no hay ningún video pregrabado.
Rastro humano El rastro humano de las Matemáticas La cabecera de esta página es una vista cenital de la estatua de Dom Dinis que se encuentra justo enfrente de este Departamento de Matemáticas de la Universidad de Coímbra. Como GeoGebra permite colocar imágenes como fondo de la vista gráfica, podemos resaltar los elementos que queramos y realizar indicaciones sobre ellos. Imágenes como esta son muy fáciles de obtener y permiten plantear un montón de preguntas según el nivel deseado, desde "¿Cuántos cuadrados aparecen?" o "¿Sabes calcular cuántos son sin contarlos uno a uno?", hasta "Tomando como unidad de superficie el área de cada cuadrado, ¿cuál es el área de la corona circular coloreada?" o "¿Cuál es el área de la parte visible del rectángulo (observa que los círculos que rodean a la estatua invaden parte de él?". Las herramientas de GeoGebra ayudan a los alumnos a explorar, calcular y comprobar sus conjeturas. El legado de las Matemáticas es ubicuo. La siguiente imagen parece un cuadro abstracto, una pintura suprematista, pero en realidad es el rastro que el uso humano de las matemáticas ha dejado, en forma de parcelación agraria, a escasos 13 km al oeste de aquí, río abajo. Google Maps @40.2036376,-8.5959846,1252m Calles matemáticas Nos hallamos en la Universidad de Coimbra (UC), Patrimonio de la Humanidad desde 2013. Los nombres de algunas calles reflejan la profunda influencia de la Universidad en esta "ciudad de los estudiantes". A menos de 400 metros de aquí, podemos recorrer la Rua da Matemática, la Travessa da Matemática y el Largo da Matemática. Desde hace más de un siglo, los estudiantes universitarios han fundado numerosas Repúblicas (comunidades de estudiantes, alrededor de 10 o 20, que comparten alojamiento, comidas, gastos, excursiones, fiestas y hasta bandera). En las imágenes, tres de estas repúblicas estudiantiles, situadas en los números 2, 6 y 40 de la Rua da Matemática (llamada así en honor a André do Avelar, que vivió allí). Otros matemáticos históricos de la UC fueron Pedro Nunes, José Anastácio da Cunha, Miguel Franzini, Florêncio Mago Barreto Feio y Rodrigo Ribeiro de Sousa Pinto, que da nombre al barrio que está justo al lado de las Escadas Monumentais que bajan desde donde estamos: Arte y matemáticas El Día Internacional de las Matemáticas (Día de Pi, 14 de marzo) de este año 2025 estuvo dedicado a la creatividad común latente en el Arte y las Matemáticas. No debe extrañar, pues, que a lo largo de la historia el arte recurriera con frecuencia a las matemáticas en su búsqueda de métodos de construcción para representar la realidad, como el estudio de la perspectiva, o expresar la belleza, mediante propiedades como la proporcionalidad o la simetría. No cuesta mucho encontrar ejemplos de esta relación a nuestro alrededor. A menos de 400 m de donde estamos se encuentra el claustro de la Sé Velha (siglo XIII), en el que podemos apreciar sus 20 rosetones, todos distintos (fotos de Mariló Fernández Mira, 2007). Cada una de las cuatro caras del claustro tiene cinco arcos ojivales, y cada uno de ellos abarca un rosetón y dos arcos de medio punto. En las esquinas, los arcos ojivales se intersecan a la altura de los arcos de medio punto, produciendo un curioso efecto. He recolocado los rosetones sobre los mismos dos arcos de fondo, para mostrar sus diferencias y simetrías (obviando un ligero desperfecto que, curiosa o deliberadamente, aunque rompa la simetría rotacional, conserva la simetría diédrica). Estos rosetones tienen diseños sencillos, por lo que pueden ser propuestos para reconstruirlos con GeoGebra en enseñanza secundaria. Los 20 rosetones diedros tienen órdenes 3, 4, 5, 6 y 8, que corresponden a polígonos construibles, mientras que 7 no lo es (Ortega, Ortega, Ortega y Crespo, 2005). Este mismo claustro puede servir para proponer la construcción de arcos ojivales y de medio punto (Arranz, Losada, Mora y Sada, 2008 y 2009). Creador de rosetones Seguramente la primera idea de uso del rastro activado sea la de dibujar, convertirlo en un lápiz. Por ejemplo, el uso del rastro con co l or facilita la creación y visualización de cualquier rosetón, ya sea cíclico o diedro (Losada, 2010). Azulejos matemáticos Entremos ahora en el Museu Nacional Machado de Castro, a menos de 300 m de aquí. En él se conservan catorce azulejos matemáticos del siglo XVIII que decoraban algunas aulas del antiguo colegio de los jesuitas. Tal como descubrió, en los años 90, António Leal Duarte (del Departamento de Matemáticas en el que nos encontramos), estos azulejos reproducen algunas figuras de una edición de los Elementos de Euclides (Tacquet, 1683), como aparece en la parte derecha de esta imagen (Requena, 2014). Esta figura corresponde a la Proposición XVII del Libro III, en donde se dan y demuestran las instrucciones para trazar una tangente a una circunferencia por un punto de ella o exterior. Rastro de co l or La siguiente imagen muestra ese mismo enunciado en la versión de Oliver Byrne (1847), que utiliza el co l or de sus gráficas para facilitar la explicación de cada proposición. Como veremos, seguiremos su ejemplo, pues el co l or resultará clave en esta presentación. Inversión Antes de exponer más ejemplos del uso del rastro, recordemos que con GeoGebra resulta muy sencillo realizar inversiones en una circunferencia. Aquí vemos cómo podemos crear fácilmente, por inversión en 2D, una cadena de Steiner, comprobando que la inversión mantiene las tangencias, pero los centros de los círculos ya no forman una circunferencia sino una elipse (verde). Al pasarlo a 3D, la envolvente de las esferas que se invierten (en la esfera azul turquesa) forman un toro. La inversión de este toro en esa esfera, es decir, la envolvente de las correspondientes esferas invertidas, forman un cíclido de Dupin (en el caso de 6 esferas, el cíclido envuelve el sexteto de Soddy). Con infinitas esferas, obtenemos la cadena de Pappus, donde el cíclido de Dupin corresponde a la inversión de un cilindro. Rastro de listas por traslación: Geometría euclídea (la fábrica de mosaicos) Los azulejos geométricos más habituales no son azulejos matemáticos del tipo que hemos visto, sino aquellos pensados para repetir cierto patrón por teselación periódica. Aunque la influencia islámica de este tipo de arte es mayor en España que en Portugal, donde los azulejos más frecuentes tienen un carácter más figurativo que geométrico, no faltan ejemplos. Podemos encontrar azulejos geométricos en la propia Sé Velha de Coimbra, pero he elegido este azulejo del Palacio Nacional de Sintra por su diseño sencillo y la armonía de los dos co l ores predominantes, lo que aumenta el efecto de contraste. Como vemos, esta complementariedad se traduce en una complementariedad numérica en los canales RGB (la mezcla aditiva de ambos co l ores da blanco). Si sacamos una foto del azulejo (o cualquier región rectangular que tesele por traslación) y la colocamos como imagen de relleno de cualquier figura plana, como un círculo, al mover la figura, la imagen se moverá por el teselado. Así que basta activar el rastro para reproducirlo. Ahora bien, esta táctica, aunque muy vistosa, solo vale para azulejos rectangulares, es poco operativa para cambiar rápidamente los colores y tampoco permite invertir el azulejo, como vamos a hacer. La construcción permite no solo la traslación del azulejo por todo el plano (usando la espiral de Ulam), con esos u otros co l ores, sino también su inversión. Para lograrlo sin que GeoGebra se resienta ante la multiplicidad de objetos, en cada paso solo se traslada un azulejo (ya sea una vez invertido o no), de modo que los azulejos que van apareciendo no son nuevos objetos sino el rastro que va dejando un único azulejo (Losada, 2025). También podemos ver el mosaico en perspectiva, usando la vista 3D. Rastro de listas por reflexión: Geometría euclídea (teselaciones regulares) Ahora nos centraremos en las teselaciones regulares. En la geometría euclídea solo existen tres: la triangular, la cuadrada y la hexagonal. Usando la notación {p, q}, donde p es el número de lados del polígono regular y q es el número de polígonos que rodean cada vértice, esas teselaciones se expresan como {3, 6}, {4, 4} y {6, 3}. Observemos que {3, 6} y {6, 3} son duales, mientras que {4, 4} es autodual. Si q es par (triángulos y cuadrados), la simetría resultante provoca que los lados de cada polígono descansan todos sobre el mismo conjunto de rectas y el número cromático es 2. Si q es impar (hexágonos), se rompe esa simetría, de modo que las líneas que unen los lados ya no son rectas, sino quebradas, y el número cromático es 3. Libro I. Postulado V de los Elementos de Euclides (reordenado en la edición de Oliver Byrne como Axioma XII) Rastro de superficies y arcos: Geometría elíptica (modelo esférico) Podemos diferenciar la geometría euclídea de las que no cumplen el quinto postulado de Euclides, la elíptica y la hiperbólica, usando configuraciones {p, q}, es decir, polígonos regulares de p lados donde en cada vértice coinciden q. En particular, el valor de la expresión (p – 2)(q – 2) discrimina cada geometría. Cuando es 4, tenemos tres casos posibles (teselados regulares habituales). Cuando es menor que 4, obtenemos las cinco particiones regulares de la esfera, origen de los cinco sólidos platónicos. Nota: en esta clasificación suponemos que los polígonos de la teselación regular tienen al menos 3 lados. En la geometría elíptica pueden darse teselaciones con polígonos de 2 lados (¡incluso solo 1!)﻿. Las rectas de la geometría euclídea se convierten en circunferencias máximas en la esfera (como dos de estas circunferencias siempre se cortan, no existen paralelas, por lo que no se cumple el postulado de las paralelas). Para obtener las cinco particiones de la esfera, convertimos las aristas de los poliedros en arcos de círculos máximos. Usando este mismo procedimiento, podemos convertir cualquier mosaico plano (geometría euclídea) en uno esférico (geometría elíptica). Si se dispone de una impresora 3D, estos mosaicos pueden servir de lámparas personalizadas 🙂. Para colorear cada polígono esférico recurrimos a las funciones arg() y alt(), con las que se puede transformar fácilmente un polígono (plano) en una superficie esférica, cuyo rastro de color cambiante permitirá cubrir toda la esfera. Pero crear cada polígono esférico consume muchos recursos, así que, para nuestro mosaico, optamos por crear pequeños arcos de círculos, con el rastro activado, en vez de superficies (Losada, 2025). Rastro de listas por inversión: Geometría hiperbólica (modelo disco de Poincaré) ¿Qué sucede cuando (p – 2)(q – 2) es mayor que 4? Con GeoGebra, podemos averiguarlo. Al igual que en la geometría elíptica el tamaño de cada polígono regular queda determinado por la esfera, ahora quedará determinado por el círculo unidad (recordemos que en la geometría euclídea el polígono es escalable, puede tener cualquier tamaño). En el disco de Poincaré, las rectas de la geometría euclídea se convierten en arcos de circunferencias ortogonales a la circunferencia unidad (de modo que por un punto exterior a uno de ellos se puede trazar más de uno que no lo corte, por lo que no se cumple el postulado de las paralelas). La construcción no hace uso de ninguna herramienta de geometría hiperbólica, solo usa repetidamente el comando de inversión en determinadas circunferencias. Igual que antes, gracias al rastro dejado por cada celda, solo necesitamos actualizar una celda (reflejándola en la siguiente), por lo que GeoGebra conserva en todo momento su capacidad de cálculo y ejecución. Para ello basta adaptar a la geometría hiperbólica la espiral de Ulam usada en la construcción euclídea, consiguiendo discos de Poincaré (Losada, 2025) ideales como posavasos 🙂. Así, podemos ver las cadenas de Steiner que se generan, crear nuestra propio teselado con el azulejo que queramos, generar el disco con el grupo triangular que Coxeter le envió a su amigo Escher, la respuesta de este en forma de grabado (Circle Limit I), la autodualidad, y, en general, generar cualquier teselado hiperbólico regular {p, q}. El número cromático (nc) no depende de la geometría (pues el grafo dual es un concepto topológico), solo de los valores {p, q}. Cuando q es par, nc es 2. Cuando q es 3 y p es impar, se forma una rueda de un número par de vértices (Wp+1), por lo que nc es 4. En los demás casos, nc es 3. Seguramente, estas son las primeras teselaciones "completas" en el disco de Poincaré realizadas con GeoGebra y, muy probablemente, este es el primer mosaico hiperbólico realizado con un azulejo de influencia mudéjar encontrado en Portugal 🙂. Ahora bien, para realizar cualquier otro similar basta con cambiar el contenido de las listas que definen el azulejo central, sus reflexiones sucesivas se efectuarán automáticamente. El azulejo fundamental La construcción del azulejo fundamental suele ser una actividad muy instructiva. En este ejemplo, se muestra cómo crear, partiendo de un tetraedro, un azulejo que tesela el plano por traslación. Cortamos el tetraedro siguiendo un camino hamiltoniano, es decir, pasando la tijera o el cúter una sola vez por sus cuatro vértices. Después, desarrollamos el tetraedro. Está demostrado que la figura resultante siempre tesela el plano (Akiyama & Matsunaga, 2015). Poligonal del rastro Podemos usar listas vacías como almacenes para guardar los datos. En este caso, usaremos la lista "reg" que almacena los datos de las posiciones de un punto móvil para sustituir su rastro por la poligonal que une todas esas posiciones. Cada vez que el punto P cambia de posición, se ejecuta la instrucción Valor(reg, Añade(P, reg)). La ventaja de este método es que por una parte mejora la visualización del recorrido realizado, y por otra nos permite estimar su longitud. Rastro de puntos: autómatas y posiciones óptimas Podemos asignar un guion a un deslizador animado, de modo que cada vez que se actualice su valor ejecute las instrucciones de GeoGebra en él contenidas. Este procedimiento, junto con el rastro activado, nos permite visualizar el recorrido de los puntos que siguen esas instrucciones. En este ejemplo, el guion compara la suma de distancias a cuatro puntos fijos con la que sería en el caso de que cada uno de los dos puntos se moviera en determinada dirección. Si la suma resultante es menor que la de partida, los puntos se moverán, hasta alcanzar la suma mínima (puntos de Steiner). Rastro de segmentos: la flor de Venus El punto naranja representa el Sol, el azul, la Tierra, y el blanco, Venus. Cada 8 años, Venus da casi exactamente 13 vueltas alrededor del Sol. En ese tiempo, Venus adelanta 5 veces a la Tierra, generando una envolvente que recuerda a 5 cardioides entrelazadas (sería una cardioide si el año terrestre durase el doble que el venusiano). Más precisamente, la fracción de los períodos orbitales﻿ entre ambos planetas (≈ 365/225) está muy próxima a ser 13/8 (= 1 + 5/8). Por tanto, el ciclo relativo se repite cada 8/5 = 1.6 años, que equivale a 576º (una vuelta y 216º) de vueltas terrestres. Esto provoca la aparición de ese patrón pentagonal conocido como pentagrama o flor de Venus.﻿ Como las trayectorias de Venus y la Tierra son casi circunferencias, obtenemos el mismo diagrama sustituyendo el segmento Tierra-Venus por su punto medio M. También obtenemos el mismo diagrama como un epiciclo ﻿de Venus visto desde la Tierra, sin más que ajustar la escala de las distancias a la mitad. Esto se debe a que si sumamos la mitad del vector Sol-Tierra con la mitad del vector Sol-Venus, obtenemos precisamente el vector Sol-M. ﻿Suponiendo que las trayectorias de Venus y la Tierra fueran circunferencias perfectas y la relación 13/8 fuera exacta, la flor de Venus sería una epitrocoide perfecta, es decir, podría ser generada por una gigantesca rueda que rodase (sin deslizamiento) sobre un círculo centrado en la Tierra con radio 5/13 de la distancia de la Tierra al Sol. La construcción ha sido realizada con los datos reales de la Tierra y Venus, pero se puede simplificar mucho usando circunferencias en vez de elipses, sin que se aprecie diferencia alguna dada su pequeña excentricidad. También se puede usar directamente la relación 13/8. En la construcción se supone que la órbita terrestre está en el mismo plano que la de Venus (en la realidad hay una diferencia de 3.4º). Rastro de circunferencias: diagrama de Voronoi y otras distancias GeoGebra permite crear el diagrama de Voronoi. Aunque solo traza el diagrama, se pueden co l orear las regiones recogiendo posteriormente la información suministrada por el grafo. En esta construcción se pueden observar las diferentes regiones, así como la triangulación de Delaunay y el cierre convexo de hasta 50 sitios. Ahora bien, hay situaciones en las que el comando Voronoi comete errores. Además, presupone que la distancia que estamos empleando es la distancia euclídea (L2). Gracias al rastro de co l or, podemos comprobar el diagrama correcto y crear otros basados en otras distancias. En este ejemplo, lo hacemos con la distancia taxi (L1) y la distancia tablero de ajedrez (L∞), ambas de circunferencias cuadradas. Este es el procedimiento: 1. Creamos un deslizador r de 0 a d, con d suficientemente amplio (por ejemplo, la mayor distancia entre los sitios). 2. Creamos las circunferencias con centro en cada sitio y radio r. Asignamos un co l or distinto a cada una y activamos su rastro. 3. Animamos el deslizador r para que tome valores decrecientes desde d hasta 0. Así, a medida que cada circunferencia reduce su tamaño, su rastro afectará a cada píxel, que quedará con el co l or de la última circunferencia que lo alcance. Esta será la que tenga su centro (que es un sitio) más próximo a ese píxel (Losada, 2010). Rastro de funciones: el problema de la cuerda vibrante Hasta el siglo XVIII, la matemática no está preparada para abordar el intrigante problema de determinar el movimiento de una cuerda tensa al pulsarla, un problema que originará lo que hoy se denomina Análisis armónico. El problema de la cuerda vibrante consiste en que el sonido fundamental no es el único que emite la cuerda al vibrar. Simultáneamente, se producen otros sonidos (parciales) de menor intensidad. La distribución e intensidad de estos parciales (timbre) es diferente para cada instrumento. Ahora bien, lo curioso es que la cuerda no varía alternativamente entre un armónico y otro, sino que emite todos los sonidos armónicos al mismo tiempo. He aquí la intriga entre los matemáticos: ¿cómo se las arregla la cuerda para vibrar de varias formas distintas a la vez? Brook Taylor, D’Alembert, Daniel Bernoulli y Euler se enredan en grandes discusiones. La causa de la confusión entre estos genios estriba en que los matemáticos de esta época concebían una función a modo de polinomio, es decir, lo que hoy llamamos función analítica. Pero un polinomio queda perfectamente determinado para todos los valores una vez que se conocen sus valores en un intervalo por pequeño que sea. Para ellos, el estado de vibración de una parte de la cuerda debería determinar la vibración de la cuerda entera. Por fin, Fourier, discípulo de Lagrange, Monge y Laplace, en su Teoría analítica del calor recurre a series trigonométricas que permiten resolver el problema, al servir de puente entre las sinusoidales de Taylor y las funciones generales de d’Alembert. Resulta que la cuerda no vibra en ninguno de los armónicos, sino de una suma ponderada de ellos. Los coeficientes de la serie de Fourier varían según los distintos armónicos (y por lo tanto, según el timbre del instrumento). Ante un movimiento tan complejo, no es de extrañar la perplejidad causada en los matemáticos. Aunque el problema de la cuerda vibrante parecía resuelto, el modo (digamos “alegre”) en que Fourier empleaba sus series trigonométricas provocó la crítica, más que razonable, de otros tres genios matemáticos: Lagrange, Laplace y Abel. El problema residía en que Fourier manejaba las series infinitas sin establecer previamente su convergencia. Esto puede conducir a resultados erróneos. Finalmente, en 1829, Dirichlet, discípulo de Fourier, establece las condiciones de convergencia de las series de Fourier, lo que marcó un hito en la historia de las matemáticas. Rastro de co l or dinámico Hipérbolas cortando los lados de un triángulo en partes proporcionales (ver Apéndice II) Podemos aprovechar la combinación de las propiedades Rastro y Co l or Dinámico para crear un poderoso y versátil artilugio de exploración de las relaciones existentes (y posiblemente ocultas) entre objetos matemáticos. Rastro + Co l or dinámico dirigido Estamos acostumbrados a ver e interpretar mapas de calor como los que recogen las variaciones de altitud en topografía y de presión o temperatura en meteorología. En esta sección veremos cómo crear un mapa matemático de calor con GeoGebra y algunas de sus aplicaciones. Coloquemos un punto libre con el rastro activado y definamos su co l or dinámico en función de la condición c que deseamos visualizar. Como cada canal RGB requiere un valor entre 0 y 1, no colocamos directamente la condición c como valor de cada canal, sino que en su lugar ingresamos cualquier función h tal que h(c) ∈ [0,1]. La función h puede ser, por ejemplo, h(c) = |cos(𝜋/2 c)|. O bien, h(c) = 1/(1+|c|). Si queremos resaltar más los valores próximos a 1, podemos añadir un coeficiente k mayor que la unidad: h(c) = 1/(1+k|c|). Aquí usaremos la función exponencial h(c) = e-|c|. Nota: Naturalmente, en el caso de la función exponencial (que será el que usaremos habitualmente), la base e puede ser sustituida por cualquier otra como 2, 3, 10... De cualquier modo, solo cuando c sea 0 el valor del canal será 1, estando tanto más cerca del 1 cuanto menor sea en valor absoluto c. Podemos sustituir el punto con el rastro activado por un cuadradito. Esto resulta conveniente cuando queremos conservar la visualización de los ejes cartesianos o de una imagen de fondo, pues un punto no permite controlar su opacidad, pero un polígono sí. Conjunto de Mandelbrot: Rastro + Co l or dinámico dirigido + Hoja de Cálculo + Deslizador La imagen anterior corresponde a la primera representación del conjunto de Mandelbrot que pude obtener arrastrando manualmente un punto. Al compartirla en el antiguo foro de GeoGebra (2009), el profesor António Ribeiro, del Instituto GeoGebra Portugal, mejoró la estética usando como condición el módulo de la iteración más cercana al origen y propuso que el punto se moviese aleatoriamente en vez de manualmente (lo que previene de posibles tendinitis), como muestra la siguiente imagen. Inspirado por António, como respuesta creé el primer escáner de co l or dinámico, un solo punto que barría sistemáticamente toda la pantalla (Losada, 2009). Solo tardó cuatro horas en completar la tarea 🙂, pero cuando regresé a ver cómo iba, faltó poco para que sufriera el síndrome de Stendhal. El rastro de co l or dinámico es una herramienta poderosa para la investigación. Sin embargo, el movimiento manual del punto que deja el rastro resulta bastante incómodo, a la vez que impreciso. Gracias a la herramienta Deslizador, podemos animar automáticamente ese punto, de forma que recorra los píxeles de la pantalla. Usando la Hoja de Cálculo (incorporada a GeoGebra en junio de 2009), podemos obtener la misma imagen (que puede recordar al efecto de anillo de diamantes en un eclipse total de sol) en pocos segundos, pues a partir del punto que deja rastro es muy sencillo crear una columna o una matriz de puntos (o de cuadraditos) que lo acompañen, creando un escáner de co l or dinámico (Losada, 2010). Nota importante: si se desea modificar la construcción, es recomendable eliminar temporalmente las celdas de las columnas B, C... de la segunda fila y siguientes antes de realizar cualquier modificación que afecte a todas esas celdas, pues GeoGebra podría colgarse ante tanto cambio masivo. Una vez realizados los cambios deseados en las celdas de la primera fila, basta arrastrar estas celdas hacia las siguientes filas para reconstruir la tabla entera. Explorando lo desconocido Descubrí la potencia de este método basado en el rastro de co l or dinámico el 8 de marzo de 2009. Pero no fue hasta algunos días después cuando surgió la oportunidad de aplicarlo a una investigación real. Con motivo del Seminario Intergeo/GeoGebra celebrado en el Centro Internacional de Encuentros Matemáticos, nos reunimos varios colegas en Castro Urdiales (Cantabria). En el transcurso de la cena del 27 de marzo, Tomás Recio propuso la búsqueda de un lugar geométrico desconocido: dado un triángulo de vértices fijos A y B, encontrar las posiciones que puede ocupar el tercer vértice C para que coincidan las longitudes de los bisectores* (interno o externo) en A y B. Al aplicar el método, esa misma noche pudimos observar cómo aparecía la figura en forma de lágrima que corresponde al lugar geométrico en el que un bisector interno "a" tiene la misma longitud que el bisector externo "b". *Denominamos bisector al segmento de extremos un vértice y la intersección de cada bisectriz (interna o externa) con el lado opuesto. Hay, pues, dos bisectores en cada vértice, uno interno y otro externo (Losada, Recio y Valcarce, 2009). El lugar encontrado forma parte de una curva algebraica de grado 10. (No es posible distinguir algebraicamente un bisector interno de uno externo sin recurrir a inecuaciones, por eso este polinomio engloba más casos que el analizado en el escáner.) La expresión para canal de co l or RGB es e-|c|, donde c varía según el canal, lo que nos permite no solo mostrar (en blanco) el lugar geométrico buscado, sino también diferenciar por co l or las inecuaciones b < a (tonos rojizos) y a < b (tonos azules). Así, para el canal rojo, c = (a - b) b/a. Para el verde, c = a - b. Para el azul, c = (a - b) a/b. Pentágono de área dada Veamos un ejemplo sencillo. Dado un cuadrilátero de área 30, deseamos añadir un nuevo vértice de modo que al intercalarlo entre los otros cuatro (conservando su orden) el pentágono resultante tenga área 40. ¿Dónde debemos colocar ese nuevo vértice? Podemos tantear con intersecciones de la cuadrícula, pero así solo lograremos encontrar un punto válido. Al pasar el escáner observamos que vale cualquier punto de un cuadrilátero de lados paralelos al original. Ahora podemos preguntar a nuestros alumnos: ¿Por qué? ¿Y cómo se construye ese nuevo cuadrilátero? Una ventaja del uso de los mapas de calor es que los alumnos no pueden "hacer trampa" rebuscando la construcción en el archivo, pues el cuadrilátero que están visualizando no está construido, ni existe ninguna pista para construirlo. Distancia al más lejano, la suma de distancias a los otros dos Podemos plantear, de este modo, todo tipo de situaciones, desde las más sencillas como la anterior, hasta las más sofisticadas. Por ejemplo, en este caso partimos de tres puntos fijos dados y deseamos visualizar el lugar de los puntos que distan del más lejano la suma de distancias a los otros dos puntos. El resultado corresponde a los ceros de una curva algebraica de grado 4. Tanto este ejemplo como los dos anteriores muestran lugares que no se pueden obtener con otras herramientas geométricas, ni siquiera con el comando LugarGeométrico. Naturalmente Si asignamos un número natural a cada píxel, podemos visualizar la distribución de colecciones de números naturales. En este ejemplo, he ordenado los píxeles siguiendo el orden occidental de lectura, es decir, de izquierda a derecha y de arriba abajo, de modo que el número 1 es el píxel de la esquina superior izquierda. Así, en el primer cuarto de millón de números naturales, vemos la diferencia de distribución entre las sucesivas potencias de 2 (17 números), los números de Fibonacci (26), el número de lados de los polígonos construibles (166), los números cuadrados (500) y los números primos (22044). El bajo número de los tres primeros casos nos recuerda que, en esencia, los tres dependen de una exponencial. En el último caso, la imagen resultante puede servir de decoración de papel de regalo 🙂. Los Elementos, libro I, proposición 47: teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras De acuerdo con la leyenda, sobre la puerta de la Academia de Platón estaba grabado "No entre quien no sepa Geometría" (AΓΕΩΜEΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕIΣ ΕIΣΊΤΩ). Podemos ver una réplica de esta frase en la fachada del edificio en el que estamos. En la misma fachada, a la izquierda de esa frase, aparece la conocida figura del "molino" que representa el teorema de Pitágoras y, bajo ella, una demostración basada en la proporcionalidad de los lados de los triángulos semejantes (primer teorema de Tales) o en el teorema de la altura. Los mapas de co l or pueden servir de introducción a resultados teóricos como este. Tenemos un triángulo de base BΓ y nos preguntamos dónde debemos colocar el tercer vértice A para que la suma de las áreas de los cuadrados azules coincida con el área del cuadrado rojo. Una vez obtenido el mapa, vienen las preguntas: ¿por qué aparece una circunferencia? ¿qué diámetro tiene? ¿cuánto mide el ángulo que abarca ese diámetro en cualquier punto de la circunferencia? Observemos que el mapa representa tanto al teorema de Pitágoras como a su recíproco, es decir, se cumple la relación entre los cuadrados si y solo si el triángulo es rectángulo, lo que sucede si y solo si (segundo teorema de Tales y su recíproco) el tercer vértice está en esa circunferencia. Nota: En este caso, la información que aporta el mapa es similar a la que aportan los comandos EcuaciónLugar y Demuestra. Si llamamos a, b y c a los lados enfrentados respectivamente a A, B y Γ, EcuaciónLugar(a² ≟ b² + c², A) devuelve la circunferencia, mientras que si A es un punto de la circunferencia, Demuestra(a² ≟ b² + c²) devuelve "true". Punto fijo A veces solo nos interesa conocer la posición de un punto. Aquí vemos, como fondo de pantalla, una vista aérea del centro de Coimbra. Hemos contraído y distorsionado la imagen, y la hemos superpuesto. Según el teorema del punto fijo de Bannach, sea donde sea que posicionemos la segunda imagen (sin traspasar el perímetro de la primera) existe un único punto en el que ambas imágenes coinciden. Ahora bien, lo malo de estos teoremas de existencia (y, en este caso, unicidad) es que en su demostración no aparece ninguna indicación de dónde se encuentra ese punto fijo (solo aparece un método de aproximaciones sucesivas). Nuestro escáner nos lo aclara, simplemente sometiendo a los puntos del escáner a la misma transformación. Así encontramos que, en este caso, el punto fijo se sitúa (cómo no 🙂) en la estatua de Dom Dinis. Nota: Empleamos rastros de cuadraditos en vez de puntos para que el rastro no oculte la imagen. Bajo el mismo ángulo La relación buscada puede ser entre ángulos en vez de distancias. Esta construcción muestra el lugar geométrico de los puntos del plano que forman con ambos segmentos el mismo ángulo (o, dicho de otra manera, desde los que se ven ambos segmentos bajo el mismo ángulo). El escáner nos brinda una forma sencilla de mostrar un ejemplo de lugar geométrico enrevesado y discontinuo. Además, permite proponer fácilmente problemas particulares con condiciones añadidas del tipo "¿y si...?". Por ejemplo, qué sucede si los segmentos son paralelos, o perpendiculares, o los cuatro extremos se sitúan en los vértices de un cuadrado, etc. Un canal para cada condición Esta construcción es una continuación lógica de la anterior. Dado el triángulo ABC, aplicamos el escáner con la condición, en cada uno de los canales, de que cada par de lados del triángulo se vea bajo el mismo ángulo. Los tres lugares geométricos obtenidos, cada uno con su co l or correspondiente, solo se cortarán en aquel punto en que los tres lados se vean con el mismo ángulo (primer centro isogónico, X(13)). Si todos los ángulos del triángulo son menores que 120º, este punto caerá en el interior del triángulo, coincidiendo con el punto de Fermat. Cargas positivas y negativas En este ejemplo, tenemos una distribución cualquiera de tres cargas eléctricas positivas (puntos azules) y otras tres negativas (puntos rojos). Si ahora introducimos una nueva carga, ¿dónde se producirá el equilibrio? Es decir, ¿en que posiciones será nula la resultante (suma vectorial) de las seis fuerzas (atractivas y repulsivas) de la nueva carga hacia las seis cargas existentes? El escáner nos muestra, en blanco, las posiciones de equilibrio. Pero además, nos indica que las zonas blancas más amplias son mejores opciones, puesto que señalan más puntos donde el conjunto no se desequilibra demasiado, son zonas más "estables". Nota: la imagen resultante corresponde a la introducción de una nueva carga negativa. Si fuese positiva, se obtendría la misma imagen solo que cambiando los azules por rojos y viceversa. Las zonas blancas de equilibrio permanecen, por tanto, invariables. Puntos escamoteados A diferencia de los métodos para representar curvas como los que usa GeoGebra, el escáner no utiliza ningún algoritmo, por lo que no existe el riesgo de que aparezcan "excepciones". Aquí vemos que algunos puntos de algunas curvas pueden no hacerse visibles mediante el método de trazado habitual. El escáner puede servir para volver a hacerlos visibles. En el primer ejemplo, el origen de coordenadas no aparece como punto de la curva y³ - x³ + 4y² + 2x² = 0 en su representación gráfica habitual. En el segundo ejemplo, es toda una rama de la curva x⁶ + 3x⁴y - 4y³ = 0 la que no se visualiza. En el tercer ejemplo, es toda la curva x⁶ - 2x³y + y² = 0 la que permanece oculta. En los puntos escamoteados en todos estos ejemplos, la curva no cambia de signo, se anula sin que esto signifique un cambio de signo. Esto "despista" al algoritmo de trazado de curvas implícitas implementado en GeoGebra y otros programas de cálculo simbólico. Nota: Algebraicamente, el primer polinomio, cuando y = 0, se puede factorizar como (-x + 2) x². El segundo polinomio se puede factorizar como (x² - y) (x² + 2y)². El tercer polinomio se puede factorizar como (x³ - y)². Concurrencia de rectas Veamos otro ejemplo geométrico. Los escáneres en los que cada punto forma parte de una construcción geométrica suelen ser más lentos que los que comparan expresiones algebraicas, pues cada fila de la Hoja de Cálculo ha de reproducir esa construcción geométrica. En este ejemplo vemos cómo podemos visualizar relaciones como la concurrencia de varias rectas (o similares, como la alineación de varios puntos). En particular, nos interesa averiguar cuándo cuatro rectas de Euler concurren en el mismo punto. Para ello, partimos de un triángulo ABC, que consideraremos fijo, y añadimos un cuarto punto libre D. Creamos las rectas de Euler de los triángulos ABD, ACD y BCD, y sus puntos de intersección con la recta de Euler de ABC. Las rectas serán concurrentes cuando la distancia entre esos puntos sea nula. Sabemos que uno de los puntos que buscamos es el incentro, pues las rectas de Euler de los cuatro triángulos concurren, en ese caso, en el punto de Schiffler. Pero, ¿dónde están el resto de los puntos, si es que hay más? Cada punto del escáner hará las veces del cuarto vértice D del cuadrilátero ABCD. Tras pasar el escáner, podemos comprobar que el lugar buscado pasa por los centros del triángulo X(1) (incentro), X(3) (circuncentro), X(4) (ortocentro), X(13) (punto de Fermat o 1º punto isogónico), X(14) (2º punto isogónico), X(15) y X(16) (conjugados isogonales de X(13) y X(14)). Además, pasa -entre otros- por los excentros, las reflexiones de A, B y C sobre los lados opuestos, los vértices de los triángulos equiláteros construidos sobre los lados... Toda esta información señala a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y a la cúbica de Neuberg como el lugar geométrico al que debe pertenecer el cuarto vértice D para que concurran las rectas de Euler del cuadrilátero ABCD. Podemos así concluir que, para cumplir esa condición, el cuadrilátero ABCD debe ser cíclico o bien uno de sus vértices debe pertenecer a la cúbica de Neuberg determinada por el triángulo formado por los otros tres. Descubrimiento de lugares difícilmente algebrizables En muchas ocasiones, la gráfica del lugar que aparece al pasar el escáner es difícil de algebrizar con exactitud. Pero incluso si lo que perseguimos es la expresión algebraica de un lugar geométrico, la visualización que nos ofrece el escáner facilita en gran medida su búsqueda. La forma de la curva o trazos visualizados ayudarán a comprender la naturaleza del lugar y el hallazgo de algunos puntos notables o singulares. En este ejemplo, el paso del escáner encuentra la bisectriz entre dos curvas, es decir, el lugar geométrico de los puntos el plano que equidistan de ambas curvas (Adamou, 2013). El resultado nos permite calcular dos arcos de elipse que se aproximan mucho al lugar buscado, lo que puede ser suficiente en numerosas aplicaciones (arquitectura, robótica, etc.) Ecuación logística En este ejemplo, usamos los canales HSL (ver Apéndice II) para variar el co l or del diagrama de bifurcación de la ecuación logística xn+1 = r xn (1 - xn) a medida que aumenta el valor del coeficiente r desde 2.9 hasta 4 (con x0 entre 0 y 1, por ejemplo 0.4). El estudio de esta ecuación fue uno de los detonadores del nacimiento de la Teoría del caos. Imágenes secuenciales e imagen de fondo Como GeoGebra permite exportar e importar imágenes, podemos usar las gráficas obtenidas para colocarlas de fondo de pantalla y realizar exploraciones sobre ellas. Podemos exportar la vista gráfica para diferentes iteraciones y después visualizarlas secuencialmente. De este modo, se puede apreciar cómo se va formando el fractal. También podemos observar cómo las series de potencias forman, para cada número complejo, polígonos, espirales y otras formas geométricas. Otros fractales El conjunto de Mandelbrot no es el único fractal que podemos escanear. Vale cualquiera que se obtenga por sucesivas iteraciones en cada punto (definido como número complejo), como los conjuntos de Julia. Por ejemplo, podemos generar un fractal de Newton generalizado. (Ver su creación en el Apéndice II.) Proyección de un amasijo de tenedores, cuchillos y cucharas. Lunch With a Helmet On (Almuerzo con casco), Shigeo Fukuda (1987). Funciones complejas de variable real La fórmula de Euler establece la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja. Richard Feynman se refirió a esta igualdad como la más notable fórmula matemática. exi = cos(x) + i sen(x) Podemos representar esta igualdad funcional en 3D. Como x es un número real (un ángulo en radianes), la función f(x) = exi es de variable real con imagen compleja. La ecuación dice que esta imagen tiene por parte real el coseno, y por parte imaginaria el seno, de ese ángulo x. En la construcción, la parte real (coseno) es la gráfica verde (el plano XY es real), mientras que la parte imaginaria (seno) es la gráfica azul. El punto amarillo recorre la gráfica de esa función. El segmento naranja, que siempre mide la unidad, indica su módulo. En la parte derecha puedes ver la proyección de ese punto en el plano complejo YZ. El ángulo rojo, que se denomina fase o argumento principal, representa a x (módulo 2𝜋, es decir, en (-𝜋, 2𝜋], pues los valores de la función son periódicos). El valor del co l or del rastro del punto proyectado es proporcional al valor del coseno y el seno. Como consecuencia de la fórmula de Euler, se obtiene (cuando x vale 𝜋) una de las más bellas y famosas igualdades matemáticas, la identidad de Euler. Funciones complejas de variable compleja: Fase sobre módulo (dominio co l or eado) También podemos visualizar, de modo análogo, el módulo como superficie y la fase como co l or. A esta representación se le conoce como "dominio co l oreado" (Breda, Trocado & Santos, 2013). Para resaltar los cambios de co l or, se sustituyen los canales RGB por HSL. También podemos añadir líneas de nivel. La idea consiste en asignar un patrón de co l or a un rectángulo del plano complejo (patrón que podemos observar seleccionando la vista XZ de f(z) = z) y observar su transformación (rotación, reflexión, etc.) al elegir otra función compleja, como la del apartado anterior. En el caso de la función f(z) = ezi, podemos observar que la fase depende únicamente de la parte real de z. De izquierda a derecha, las imágenes de los dominios coloreados de cos(z), i sen(z) y ezi. Rastro de tiempo Reloj de la torre de la Universidad de Coímbra Registro del tiempo Del mismo modo que hemos visto que podemos crear una lista de posiciones, gracias al comando TomaTiempo() podemos crear una lista que almacene los datos del tiempo real transcurrido. Esto nos permite simular experimentos cinemáticos sin usar ni fórmulas ni trayectorias predefinidas (Losada, 2024). Veamos algunos ejemplos (un par de ejemplos más, como la Tautócrona o la Braquistócrona, pueden verse en el Apéndice III). Caída por un plano El movimiento de caída libre se produce demasiado rápido para que en tiempos de Galileo se pudiese observar con precisión. Gracias al plano inclinado, que ralentiza la caída, Galileo pudo realizar mediciones con suficiente exactitud para llegar a la conclusión de que la velocidad de caída varía uniformemente en cada unidad de tiempo. Péndulo simple En este ejemplo el rastro es triple: el rastro del tiempo nos permite medir el período del péndulo, mientras que mediante el rastro de co l or dinámico podemos visualizar los cambios en la velocidad (máxima para el rojo) al mismo tiempo que un punto traza la gráfica de la elongación angular en función del tiempo. Y todo ello sin hacer uso de la trigonometría ni de ecuaciones diferenciales. Usamos HSL para resaltar los cambios de co l or. El registro del tiempo nos permite comprobar que, en general, el péndulo simple no sigue un Movimiento Armónico Simple (MAS). Solo se aproxima mucho a él cuando la amplitud angular es pequeña (menor de 10º, aproximadamente), pero incluso para una amplitud de 45º las gráficas son similares. Aumentando la amplitud, podemos comprobar que, en realidad, la gráfica no es una sinusoidal. A partir de 130º, el cálculo aproximado del período teórico conlleva trabajar con números demasiado elevados, por lo que GeoGebra no lo puede calcular con suficiente precisión, mientras que el período de la animación sigue ajustándose bastante bien al modelo ideal. Para amplitudes mayores de 175º, el período seguiría aumentando y tiende a infinito al acercarse la amplitud a 180º. Péndulo doble Si colocamos un péndulo en el extremo móvil de otro, obtenemos un péndulo doble. Aunque cada uno de ellos se sigue rigiendo por el período estable de un movimiento ordenado, su movimiento combinado resulta caótico. Podemos aprovechar la poligonal generada por el rastro para estimar la longitud recorrida por el segundo péndulo. Además hemos usado los canales HSL para añadir un segmento cuyo rastro es más claro cuanto mayor sea la velocidad. Efecto dominó Podemos visualizar el efecto dominó encadenando una serie de péndulos. También podemos comprobar que la velocidad de propagación del movimiento no es proporcional a la gravedad. Aunque la gravedad en la superficie terrestre es unas 6 veces mayor que en la superficie lunar, la velocidad de propagación en la Tierra es solo del orden del doble, o menos, que en la Luna (cuanto menor sea la distancia entre las fichas, menos diferencia habrá). El péndulo de Foucault en la Universidad de Coimbra Hace exactamente 10 años aparecía la noticia de la inauguración (el día 25 de octubre) del péndulo de Foucault en la Universidad de Coimbra. Si aplicamos al tiempo una escala 1:3600, podemos visualizar una vuelta completa de la Tierra en solo 24 segundos (pero solo colocando el péndulo en uno de los polos). Esta escala de tiempo nos permite observar el comportamiento del péndulo de Foucault en cualquier punto terrestre. Si lo colocamos en el hemisferio norte, la rotación aparente del plano del péndulo se realizará de modo retrógrado (sentido horario), mientras que el hemisferio sur se realizará de modo directo (sentido antihorario). Geometría elíptica. Posición y tiempo El paso del tiempo también deja su rastro en otros astros, además de la Tierra. El conocimiento de la posición de estos astros, como el Sol, la Luna y las estrellas, puede indicarnos en qué punto de la Tierra nos encontramos en un instante dado. Podemos elegir la zona horaria (dentro de tres días Portugal pasa de UTC+1 a ser UTC+0), la fecha y hora (o pulsar "Ahora") o un solsticio o equinoccio. También podemos mover hasta 3 puntos (A, B y C) sobre la superficie esférica (aparecerá un rótulo con la ciudad más cercana, o bien Coimbra o bien otra que sea capital o tenga más de un millón de habitantes; pulsando sobre ese texto el punto irá a esa posición). Rastro 2D ↔ 3D Ptolomeo denominaba Cosmografía a la combinación de Matemáticas, Geografía y Astronomía que ayudaba a la representación del mundo. Su estudio ha sido esencial desde los principios de la Edad Moderna, cuando los marinos españoles y portugueses necesitaban esos conocimientos, entre otros, para cruzar con éxito el océano Atlántico. Gracias a los guiones, podemos transmitir cualquier acción en un objeto a otro... y viceversa. En este ejemplo, se transmite la posición de un punto en el globo terrestre (superficie esférica en la vista 3D) a su correspondiente posición en la proyección cilíndrica conocida como mapa de Mercator (vista 2D). Y recíprocamente. Así, cualquier rastro del primer punto se convierte en el rastro correspondiente del segundo, y viceversa. En esta construcción se puede observar la diferencia entre las curvas ortodrómica (mínimo recorrido) y loxodrómica (rumbo constante). Recordemos que el descubridor de esta curva fue Pedro Nunes, genial matemático portugués del siglo XVI cuyos últimos 34 años los vivió aquí, en Coimbra (donde hoy un centro tecnológico y una calle comparten su nombre). Nunes se dio cuenta de que esa curva no era, en general, una circunferencia, sino una hélice esférica. ¡Cómo le habría gustado a Nunes y a los famosos exploradores y descubridores haber podido jugar con una construcción como esta! (La siguiente imagen se encuentra en el parque Portugal dos Pequenitos, aquí en Coímbra, uno de los primeros parques de miniaturas del mundo; generalmente, un niño reconoce un mapa mundi antes de saber multiplicar. Y, si hubiera más Mundo, habría llegado hasta allí, Luís de Camões, Los lusiadas, VII-14, último verso.) Conclusión Gracias a la observación de todos estos rastros, GeoGebra nos ayuda a explorar las relaciones Matemáticas en el plano, en el espacio y hasta en el tiempo. Agradecimientos Ante todo, deseo expresar mi agradecimiento particular al profesor José Manuel Dos Santos y, en general, al comité organizador de este congreso, por invitarme a participar en él. Como ya es habitual, también quiero agradecer al profesor Tomás Recio su interés, conocimiento y ayuda, durante muchos años, en diferentes aspectos de los temas aquí tratados. Agradezco también a a Mariló Fernández Mira las fotos de los arcos y rosetones del claustro de la Sé Velha de Coimbra. Finalmente, debo recordar al profesor António Ribeiro por su aportación en el antiguo foro de GeoGebra para la mejora de la estética del método de rastro de co l or. El autor En mis 40 años de docencia como profesor de Enseñanza Secundaria, en la búsqueda de incentivar el interés del alumnado, he investigado la conexión de las Matemáticas con otras áreas, cercanas o implícitas, tan diversas como la Resolución de problemas, los Juegos, la Percepción y la Música. La llegada de la Geometría Dinámica supuso nuevas y grandes oportunidades para atraer a los estudiantes y promover la creación de sus propias construcciones. Mi relación con GeoGebra se remonta a 2005, año en que conocí este programa creado por Markus Hohenwarter, aunque ya había trabajado con otros programas de geometría dinámica. Dos años después, en 2007, el profesor Tomás Recio me convoca al Centro Internacional de Encuentros Matemáticos (CIEM, Cantabria) que reunió, entre otros, a varios profesores de secundaria españoles pioneros en el uso didáctico de la geometría dinámica. En esa reunión defendí la eficiencia de GeoGebra (Losada, 2007) frente a otros programas como Cabri. Una consecuencia de ese encuentro fue la formación del grupo G⁴D, constituido por J.M. Arranz, J.A. Mora, M. Sada y el que esto escribe. Dos años más tarde, desde el Ministerio de Educación de España, Antonio Pérez, entonces director del Instituto de Tecnologías Educativas (ITE, hoy INTEF), me encarga la realización de cursos para la formación en GeoGebra del profesorado de Educación Primaria y Secundaria, así como la creación de un conjunto de actividades completas (introducción del tema, construcción a explorar y cuestionario) para el alumnado, clasificadas por temas y niveles, que bautizamos como Proyecto Gauss (al que un cambio político en Asturias interrumpió abruptamente). Simultáneamente, Tomás pone en marcha el primer Instituto GeoGebra en lengua española, el Instituto GeoGebra de Cantabria, del cual soy Formador desde su creación. Bibliografía y referencias Tacquet, A. (1683). Elementa geometriae planae ac solidae, quibus accedunt selecta ex archimede theoremata [Elementos de geometría plana y sólida, a los que se añaden teoremas seleccionados de Arquímedes.]. Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico. 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Se hace camino al andar. UNIÓN-Revista Iberoamericana de Educación Matemática, vol. 21, nº 73. Losada, R. (2025). Teselaciones regulares. Libro de GeoGebra. Apéndice I (rastro de co l or) Rastro de rectas: envolventes Un ejemplo típico del uso del rastro es la visualización de familias de curvas o rectas. En este ejemplo, la visualización es doble. A la izquierda, es la función y = sen(x + k) la que varía el valor k, mientras el punto de tangencia se mantiene en x = 0. A la derecha, es el punto P de la gráfica de y = sen(x) el que se desplaza. Las tangentes en x = 0 de las gráficas de las funciones f(x) = sen(x + k) son las rectas y = cos(k) x + sen(k). La envolvente de esta familia de rectas es la hipérbola equilátera y² - x² = 1, cuyas asíntotas son las rectas y = ±x (k = 0 o k = 𝜋). Así, para el punto P, el rastro de las rectas (k = x(P)), enmarcado por esas asíntotas, formará una cuadrícula en el plano. También podemos construir directamente la cuadrícula usando Secuencia(Recta((k 𝜋, 0), (k 𝜋 + 1, cos(k 𝜋))), k, -10, 10). Apéndice II (rastro dinámico) Ruido blanco Podemos usar las coordenadas cartesianas como parte de la condición de cada canal RGB, lo que permite dividir la pantalla en diferentes zonas según nuestros intereses. Si en cada canal RGB colocamos la función random(), que genera un número aleatorio entre 0 y 1, obtenemos una imagen en el que el co l or de cada píxel es independiente del vecino. Esto se denomina ruido blanco o nieve electrónica, la conocida imagen (en escala de grises en las televisiones en blanco y negro) producida por las antiguas televisiones analógicas cuando no sintonizaban ningún canal. Ahora bien, si en uno de los canales RGB, por ejemplo el verde, sustituimos la función random() por una expresión algebraica, la gráfica correspondiente resaltará sobre el fondo caótico. En este ejemplo, la expresión para el canal verde es e-|c|, donde c = |P-A| |P-B| |P-C| - 25, es decir, un óvalo de Cassini generalizado a tres puntos A, B y C. HSL Aunque normalmente no es preciso, si necesitamos diferenciar con co l or es más de tres objetos, podemos sustituir los canales RGB por HSL (Matiz, Saturación, Luminosidad). El modo de gestionarlo es algo más complicado. En este ejemplo hemos diferenciado las circunferencias de radio r y centros A, B, C, D y E con estas expresiones: Matiz: 0.1exp(-5||P-B|-r|) + 0.2exp(-5||P-C|-r|) + 0.4exp(-5||P-D|-r|) + 0.5exp(-5||P-E|-r|) Saturación: 1 Luminosidad: 0.5 (exp(-5||P-A|-r|) + exp(-5||P-B|-r|) + exp(-5||P-C|-r|) + exp(-5||P-D|-r|) + exp(-5||P-E|-r|)) Cortes proporcionales Sustituir en los canales de color la función exponencial por otras expresiones puede generar imágenes inesperadas. En este ejemplo, la hemos sustituido por una fracción que no siempre toma un valor finito (puntos en negro). Dados un triángulo y un radio r (en este caso, r = 2), se busca el centro de la circunferencia de radio r que corte a los lados del triángulo en cuerdas proporcionales a sus longitudes. El centro buscado es la intersección de tres hipérbolas. Esta circunferencia corresponde además a la posición del círculo de radio r que solapa al triángulo en un área máxima. Misma área y circunferencia inscrita En este caso, vemos un triángulo de área 30 u2 y su círculo inscrito. Dos vértices están en una horizontal (y = -2). Queremos averiguar dónde debe estar el tercer vértice para que se conserve tanto el círculo inscrito como el área del triángulo (siempre con base en la recta y = -2, pues consideramos equivalentes los triángulos congruentes). Nota: algebraicamente, vemos los puntos (x - y, x y + 1) 2/(x y - 1) donde (x, y) es un punto de la curva 2 x² y + 2 x y² - 15 x y + 15 = 0. Fractal de Newton generalizado Podemos generar un fractal de Newton generalizado usando la iteración: zn+1 = zn + a p(z)/p'(z) Hemos elegido el polinomio complejo p(z) = (z² + 9)(z - 4) y el número a = 1 + i. Las raíces del polinomio (puntos atractores) son los puntos rojo, verde y azul. Cada punto del fractal está co l oreado según la distancia (después de varias iteraciones) a las raíces, por lo que adquirirá la misma tonalidad que el de la raíz a la que converge. Apéndice III (rastro de tiempo) Estas animaciones simulan el movimiento en tiempo real, despreciando el rozamiento. No hacen uso de fórmulas (ni trigonometría ni ecuaciones ni cálculo diferencial), solo realizan las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento. Tirolina La carga de una tirolina ideal (es decir, sin rozamiento) se comporta de modo similar al del péndulo doble. La diferencia estriba en que ahora la polea (el primer péndulo) no traza un arco de circunferencia, sino un arco de catenaria. Al colgar una carga, la polea divide el cable en dos arcos de catenarias diferentes. Si el peso de la carga es grande, podemos estimar que esos arcos son prácticamente rectos (aunque físicamente nunca lo serán exactamente), con lo que la polea recorrerá un arco de elipse, pues su recorrido está determinado por la longitud del cable, que es la suma de las distancias de la polea a los extremos A y B. Como la elipse es una curva mucho más simple que la catenaria, elegimos esta opción. Aprovechamos el guion del deslizador "anima" para registrar la máxima velocidad alcanzada. Así, podemos observar que la carga (punto rojo) puede llegar a moverse más rápido que la polea de enganche al cable (punto azul). En la realidad, la carga suele estar muy cerca de la polea, lo que minimiza, junto con el rozamiento, los vaivenes producidos por la carga. Tautócrona ("tiempo igual") La cicloide es la única curva que tiene la propiedad de ser una curva tautócrona , es decir, el tiempo que le lleva a una masa que se desliza sin rozamiento en gravedad uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto de partida. Huygens descubrió que ese tiempo es 𝜋/2 veces el tiempo de caída libre desde la altura del diámetro del círculo que genera la cicloide. Es decir, el período de oscilación de los tres puntos es siempre el mismo. Braquistócrona ("tiempo mínimo") La cicloide es la curva de descenso más veloz para ir desde H hasta P. Hemos añadido la circunferencia que pasa por H, S y P, pues Galileo creía que la braquistócrona debería ser esa circunferencia (línea verde), pero se equivocó (aunque no por mucho) como puedes comprobar en la construcción. En realidad, el punto verde realiza un movimiento pendular, cuyo período de oscilación es algo mayor que el de la cicloide. Lo que resulta muy evidente es que la línea recta está muy lejos de ser la mejor opción (aunque mejora cuanto mayor sea su pendiente, es decir, cuanto más próximo se encuentre P de H). |