TALLER

geogebra.es/060419/

 

por Rafael Losada Liste

 

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Resumen

Realizaremos, desde cero y pautadamente, construcciones basadas en vectores y construcciones cuyo comportamiento vendrá dirigido por un corto guion de GeoGebra. Concretamente, nos centraremos en analizar el gran potencial que surge al asociar un guion a un deslizador con animación automática.

 

Información

 

Procedimientos pautados

procedimientos pautados.ggb

Este taller usa una plantilla ya preparada. Los objetos usados por la propia plantilla son auxiliares, para ocultarlos de la Vista Algebraica.

 

Nota: Para saltar de línea en un texto de la lista de instrucciones se usa \\n.

 

Parametrizaciones

En este documento (PDF, DOC) se puede consultar información técnica detallada para los profesores sobre las parametrizaciones que rigen los objetos (rectas, cónicas, funciones, listas...) de GeoGebra.

 

 

 

Práctica

 

Recorridos y parametrizaciones

01 elipse vectorial.ggb   

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

También resulta mucho más sencilla la manipulación de objetos geométricos como las elipses si las definimos vectorialmente sobre un sistema referencial relativo. De hecho, es lo que hace el propio programa GeoGebra (ver PDF anterior sobre Animaciones automáticas).

 

02 funciones vectoriales.ggb

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

Si redefinimos vectorialmente una función f(x) como O + t i + f(t) j, donde {O, i, j} constituyen el sistema referencial, basta intercambiar de posición los vectores i, j para obtener la gráfica de la función inversa (cuyo dominio tal vez se deba restringir, según los casos, para que sea efectivamente una función).

 

03 radián.ggb

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

Si deseamos que la animación de dos puntos en distintos recorridos corra a la misma velocidad “absoluta”, deberemos calcular previamente la longitud de cada recorrido y dividir por ella la velocidad del punto animado.

En el caso de que un recorrido tenga longitud infinita (como una recta o una parábola), deberemos colocar el punto animado en una parte de longitud finita (como un segmento o un arco).

 

04 circuferencias e hiperboloide reglado

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

En este ejemplo, gracias a  las parametrizaciones, podemos conseguir la superficie reglada simplemente retorciendo (es decir, desfasando) la circunfe-rencia superior respecto a la inferior.

 

Modelizaciones

05 flor de Venus.ggb

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

Los radios medios de las órbitas de la Tierra y Venus alrededor del Sol apenas influyen en la forma final. Lo que realmente define esta forma es la fracción entre la duración de los ańos de Venus y la Tierra. El denominador de la fracción indica cuántos ańos (terrestres) pasan hasta repetir el ciclo.
 

06 órbitas elípticas.ggb

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

Nota: Esta construcción fue realizada en colaboración con mi compańero de departamento Julio Valbuena Herrero, quien adaptó la idea expuesta por Richard Feynman en su famoso lilbro The Feynman Lectures on Physics (1963, volumen I , 9-7, Planetary motions).

 

Trayectorias

07 billar circular.ggb

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

Si la banda es curva, en vez de recta, el eje de simetría es la perpendicular a la recta tangente a la curva en ese punto. En el caso de un billar circular, esa perpendicular es siempre el radio del círculo.

En el billar circular, todos los segmentos entre dos rebotes consecutivos tienen la misma longitud. Dependiendo del ángulo de salida, podemos determinar con facilidad el radio del círculo interior que quedará inscrito en la trayectoria poligonal. También podemos encontrar cómo han de ser los ángulos para que la trayectoria se cierre.

Además, en la construcción se usa un guion de GeoGebra para simular el movimiento de la bola.

 

Atracciones y repulsiones

08 círculo con 5 puntos.ggb

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

Crearemos un sistema dinámico que se estabilice por sí mismo:

Pongamos dos puntos en el interior de un círculo. Imaginemos que tanto los puntos como el borde del círculo están cargados eléctricamente, con la misma carga. Los dos puntos se repelen entre sí, y son repelidos por la circunferencia, con intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Inmediatamente, buscarán el equilibrio, que se alcanzará cuando los dos puntos se dispongan simétricamente respecto al centro del círculo y a una distancia entre sí igual a un tercio del diámetro.

 

09 robot_entre_enemigos.ggb

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

Ahora crearemos un sistema dinámico jugando con la atracción y la repulsión.

El robot (punto rojo P) conoce la posición final que desea alcanzar (punto verde O) pero debe esquivar una serie de enemigos (puntos azules).

 

Exploraciones dinámicas (robots)

10 robot_recíproco_pitágoras.ggb

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

En este ejemplo, queremos demostrar de modo dinámico y automático el recíproco del teorema de Pitágoras.

Nota: Si queremos volver a repetir el experimento, debemos recordar devolver inc al valor 0.1.

 

11 robot_punto_fermat.ggb

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

En este otro ejemplo, queremos encontrar el punto de Fermat de un triángulo dado. Para ello, hemos sustituido el papel del vértice C del triángulo y de su alter ego C0 por un punto exterior al triángulo: F y F0.

 

12 robot laberinto.ggb

(resultado final sin cuidar estética / resultado final cuidando estética)

En este último ejemplo, el robot ha de adaptarse al entorno: no tiene ninguna información sobre la forma del laberinto. Solo detecta si hay espacio libre a su derecha (en cuyo caso gira a la derecha para pegarse a la pared derecha) o si hay un obstáculo enfrente (en cuyo caso gira a la izquierda).