Soluciones

1. Porque si en cada vértice concurren varios polígonos iguales, el ángulo interior de cada uno de esos polígonos tiene que ser un divisor de 360º. En la siguiente tabla se observa que solo cumplen esta condición los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares:

   Número de lados del polígono regular | Ángulo interior | Divisor de 360º
   3 | 60º | Sí
   4 | 90º | Sí
   5 | 108º | No
   6 | 120º | Sí
   > 6 | > 120º y < 180º | No

2. El símbolo de Schläfli del mosaico formado por triángulos equiláteros es 3.3.3.3.3.3, el formado por cuadrados es 4.4.4.4 y el formado por hexágonos regulares es 6.6.6.

3. Se pueden construir dos mosaicos semirregulares combinando triángulos equiláteros y cuadrados: el mosaico 3.3.3.4.4, con cuadrados contiguos, y el mosaico 3.3.4.3.4, con cuadrados alternos.

4. No se pueden construir mosaicos semirregulares utilizando únicamente cuadrados y hexágonos. Pero podemos hacerlo con ayuda de algún otro polígono. Hay dos formas: con ayuda de un triángulo podemos construir el mosaico 3.4.6.4 y con ayuda de un dodecágono podemos construir el mosaico 4.6.12.

5. Podemos combinar triángulos y hexágonos únicamente de dos formas distintas: 3.3.3.3.6 y 3.6.3.6.

6. Solo quedan dos mosaicos semirregulares más: 4.8.8 y 3.12.12.

7. Los ocho mosaicos semirregulares son 3.3.3.4.4, 3.3.4.3.4, 3.4.6.4, 4.6.12, 3.3.3.3.6, 3.6.3.6, 4.8.8 y 3.12.12.

   Mosaicos semirregulares
   3.3.3.4.4 | 3.3.4.3.4 | 3.4.6.4 | 4.6.12
   3.3.3.3.6 | 3.6.3.6 | 4.8.8 | 3.12.12

8. El criterio que nos permite determinar cuándo un polígono regular se puede combinar con otros para formar un mosaico semirregular es si su ángulo exterior (lo que deja para que otros polígonos lo cubran) se puede poner como suma de ángulos interiores de otros polígonos. En la siguiente tabla vemos el resultado (no consideramos los polígonos de 7 y 11 lados por no ser divisores de 360):

   Número de lados del polígono regular | Ángulo interior | Suma de interiores
   3 | 60º | 4x60º + 1x120º = 360º 3x60º + 2x90º = 360º 2x60º + 2x120º = 360º 1x60º + 2x150º = 360º 1x60º + 2x90º + 1x120º= 360º
   4 | 90º | 1x60º + 2x90º + 1x120º= 360º 1x90º + 2x135º = 360º 1x90º + 1x120º + 1x150º= 360º
   5 | 108º |
   6 | 120º | 4x60º + 1x120º = 360º 2x60º + 2x120º = 360º 1x60º + 2x90º + 1x120º= 360º 1x60º + 2x90º + 1x120º= 360º 1x90º + 1x120º + 1x150º= 360º
   8 | 135º | 1x90º + 2x135º = 360º
   9 | 140º |
   10 | 144º |
   12 | 150º | 1x60º + 2x150º = 360º 1x90º + 1x120º + 1x150º= 360º