## Cuadrática (3): Características de la parábola

En esta actividad exploraremos algunos de los elementos y características de la parábola. Observa que todos los elementos quedan determinados una vez fijados el foco y la recta directriz.

Preguntas

1. Activa la casilla Vértice, se mostrará el vértice V de la parábola. ¿Qué relación hay entre el vértice, el foco y la directriz?

2. De todos los puntos de la parábola, ¿cuál es el más cercano a la directriz?

3. De todos los puntos de la parábola, ¿cuál es el más cercano al foco?

4. Activa la casilla Eje, se mostrará el eje de la parábola, una recta (eje de simetría axial) que divide la parábola en dos partes simétricas, en dos brazos. ¿Cuáles son los dos puntos que determinan ese eje?

5. ¿Qué relación hay entre el eje de la parábola y la directriz?

6. Activa la casilla "Parámetro p", aparecerá un segmento entre el foco y la directriz de la parábola. La longitud de ese segmento, p, es lo que se conoce como parámetro focal. El parámetro focal es la medida más importante en las parábolas (tan importante como el radio en las circunferencias), recuerda que la hemos llamado "p" cuando contestes a las siguientes preguntas. ¿Cuál es la distancia entre el vértice y la directriz?

7. ¿Cuál es la distancia (en función de p) entre el foco y el vértice?

8. Activa la casilla "Lado recto". El lado recto es la cuerda de la parábola que pasa por el foco paralela a la directriz. Fíjate en los extremos de lado recto. ¿A qué distancia (en función de p) están de la directriz?

9. ¿A qué distancia del foco (en función de p) están los extremos del lado recto?

10. ¿Cuánto mide (en función de p) el lado recto?

11. Activa la casilla Cuadrado. ¿Es realmente un cuadrado lo que aparece? ¿Por qué?

12. Activa la casilla Tangente. Aparecerá la mediatriz del segmento FD (que nos sirvió para construir la parábola). Comprueba que esa recta es efectivamente la tangente a la parábola en cada punto, moviendo P.

13. El punto M, punto medio entre F y D, es también siempre el punto de corte entre la tangente-mediatriz y la perpendicular a ella que pasa por el foco. ¿Por qué?

14. El punto D, proyección de P sobre la directriz, es siempre el simétrico del foco F respecto a la recta tangente-mediatriz a la parábola en P. ¿Por qué?

15. ¿Además de por P y M, por qué otro punto pasa la tangente-mediatriz cuando P ocupa un extremo del lado recto? ¿Por qué?

16. ¿Qué tipo de triángulo es el triángulo FPD? ¿Por qué? Mueve P para asegurarte de tu respuesta.

17. Desactiva la casilla "Cuadrado" y activa la casilla Ángulos. En el triángulo FPD, el ángulo en F y el ángulo en D son iguales. Se puede deducir entonces que la mediatriz divide en dos mitades el ángulo en P. ¿Por qué?

18. El resultado anterior, es decir, el hecho de que la mediatriz de FD sea también la bisectriz del ángulo en P, tiene importantes consecuencias*. Activa la casilla "Rayo paralelo al eje". Los tres ángulos señalados miden lo mismo, ¿por qué?
    (*) Cuando un rayo paralelo al eje alcanza la parábola formando con la tangente uno de los ángulos de entrada, se reflejará en ella con el mismo ángulo de salida, así que irá a parar sin remedio al foco de la parábola. Eso es precisamente lo que hacen las antenas parabólicas: concentrar todas las señales recibidas en el foco. Los faros de los coches usan el mismo recorrido, pero en sentido contrario: la luz sale del foco y se refleja en el espejo parabólico para formar un haz de rayos paralelos. Todo esto es posible gracias a que la recta tangente en cada punto de la parábola es precisamente la bisectriz del ángulo FPD.

19. Desactiva "Rayo paralelo al eje" y activa Recta principal. Es la recta paralela a la directriz que pasa por el vértice. ¿Cuál es la relación entre M, punto medio entre F y D, y la recta principal?

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