## Racional (6): Función de proporcionalidad inversa

Advierte que al colocar una hipérbola de forma que pueda ser la gráfica de una función hay dos posibilidades: podemos colocar el eje principal de la hipérbola en la diagonal del primer y tercer cuadrante (recta y = x). Pero también podemos colocarlo en la diagonal del segundo y cuarto (recta y = -x).

Afortunadamente, la ecuación correspondiente al otro modo de colocar la hipérbola (vértice en (1, -1)) se obtiene de forma inmediata por simetría en el eje de abscisas: Y = -1/X.

A partir de las dos hipérbolas equiláteras básicas cuyas ecuaciones hemos encontrado, Y = 1/X e Y = -1/X, como sabemos que todas las hipérbola equiláteras con el mismo centro y eje principal son homólogas respecto a ese centro, encontraremos rápidamente la ecuación de cualquier función cuya gráfica sea una hipérbola centrada en el origen.

Veremos que cualquiera de esas hipérbolas queda determinada por un solo número (parámetro) "A", cuyo signo dependerá de los cuadrantes que recorra.

Preguntas

1. Activa la casilla Refleja (al activar o desactivar la casilla Refleja, el punto P se colocará en el vértice: muévelo para colocarlo en otra posición que facilite la observación). La hipérbola se reflejará en el eje OX, que es lo mismo que sustituir cada valor Y por el valor (-Y). La ecuación de la nueva hipérbola será por tanto X (-Y) = 1, es decir, Y = -1/X. ¿Cómo puede interpretarse geométricamente esta igualdad?

2. Haz clic en el botón Reiniciar. Sabemos que cualquier hipérbola equilátera con vértice en el origen y eje principal sobre la misma recta y = x será homóloga a la hipérbola equilátera básica Y = 1/X. Activa la casilla Homotecia. Al aplicar una homotecia centrada en el origen con factor k y vértice en V (1, 1), obtenemos una nueva hipérbola equilátera con vértice en en V' (k, k) ¿Por qué?

3. Cada punto P (X, Y) de la hipérbola equilátera Y = 1/X tendrá un homólogo P' (x, y) = (k X, k Y). Ahora nos interesa averiguar cuál es la relación entre las dos coordenadas de P'.
   Si la homotecia con factor k transforma P en P', la homotecia con factor 1/k transformará P' en P. Así que si (x, y) son las dos coordenadas de P', tenemos que las coordenadas de P serán (X, Y) = (x/k, y/k).
   Como se cumple que Y = X2, tenemos que y/k = 1/(x/k). Simplifica esta expresión para obtener la ecuación de cualquier hipérbola equilátera centrada en el origen y situada en el primer y tercer cuadrante: y = k2/x.

4. Reflejando de nuevo por el eje horizontal (sustituyendo "y" por "-y"), la ecuación de la misma hipérbola reflejada será y = -k2/x.
   Llamando "A" al numerador constante, podemos unir ambas ecuaciones (y = k2/x, y = -k2/x) en una sola: y = A/x. Según esta ecuación, la variable dependiente y toma siempre el valor inverso al de la variable dependiente x respecto a una constante A. Por eso la función correspondiente se denomina función de proporcionalidad inversa.
   ¿Qué significado geométrico (que explica la elección de esta letra) tiene el valor absoluto de la constante A? ¿Qué significado gráfico tiene su signo? ¿Qué relación hay entre el valor de A y las coordenadas de los vértices de la hipérbola?

5. Basta ver la ecuación y = A/x para poder afirmar, sin necesidad de ver la gráfica, que representa a una función impar. ¿Por qué?

6. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la hipérbola y = 4/x? ¿Cuáles son las coordenadas de sus focos?

7. ¿Cuál es el área del rectángulo que tiene como par de vértices opuestos el origen de coordenadas y un punto de la hipérbola y = -7/x?

INICIO Ítem didáctico creado por Rafael Losada Liste.