Soluciones

1. Se trata de familiarizarse con la aplicación y de percibir que al mover el punto amarillo varía el área de la cruz inscrita en el cuadrado.

2. El área se puede calcular empleando diferentes estrategias. Incluso cabe la posibilidad de contar cuadraditos o medios cuadraditos aprovechando la trama cuadrada sobre la que se representa el cuadrado. Cuando x=1 cm el área de la cruz es de 26 cm2.

3. El área de la cruz es de 40 cm2 cuando x=2 cm.

4. Para x=3 cm el área de la cruz es de 42 cm2. Se trata ahora de valorar las estrategias utilizadas para encontrar la solución de los casos propuestos. Algunos procedimientos no serán válidos cuando se trata de encontrar el área para un valor cualquiera de x (por ejemplo quienes hayan contado cuadraditos o medios cuadraditos verán que su método ahora ya no resulta eficaz). Al activar la ayuda se sugiere un método de cálculo que se basa en restar al área del cuadrado en el que se inscribe la cruz las áreas de los triángulos dibujados en los espacios del cuadrado que no ocupa la cruz.

5. La tabla completa, que se puede comprobar con la aplicación, es la siguiente:

Distancia al vértice (cm) | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4
Área de la cruz (cm2) | 0 | 14.5 | 26 | 34.5 | 40 | 42.5 | 42 | 38.5 | 32

6. Se comprueba el resultado anterior activando las casillas indicadas.

7. Todos los triángulos son rectángulos e isósceles, por lo que resulta muy sencillo el cálculo de su área. Los catetos de los triángulos verdes miden x, por lo que su área será: x2/2. Por tanto, el área total de los triángulos verdes será: 4·x2/2 = 2x2. Los catetos de los triángulos amarillos y marrones (que son iguales) miden 4-x, por lo que su área será: (4-x)2/2. Como son 8, el área total de los triángulos amarillos y marrones será: 8·(4-x)2/2 = 4(4-x)2. Por tanto, el área de la cruz será:

64 - 2x2 - 4(4-x)2 = 32x - 6x2

8. La aplicación permite comprobar la gráfica.

9. La función está definida entre x=0 y x=4. El máximo valor del área se corresponde con el máximo de la función, que se alcanza en el vértice de la parábola. Moviendo el punto amarillo se puede encontrar la solución aproximada (2.67, 42.67): el área máxima, que es de 42.67 cm2, se alcanza cuando el vértice de la cruz está situado a 2.67 cm del vértice del cuadrado. El área de la cruz toma valores comprendidos entre 0 y 42.67 cm2.

10. Partiendo de la expresión algebraica podemos hallar con más precisión las coordenadas del vértice, que nos indicarán la distancia del vértice de la cruz al vértice más próximo del cuadrado (8/3 cm) para la que se obtiene el área máxima de la cruz (384/9 cm2). Primero hallamos los puntos de corte de la parábola con el eje OX. A continuación promediamos los valores encontrados para obtener la abscisa del vértice. Por último, con la expresión algebraica podemos calcular la ordenada del vértice:

32x - 6x2 = 0 ---> x1=0, x2=16/3 ---> xv=8/3 ---> yv=384/9