Soluciones

2. Al girar el punto rojo, el punto blanco rota alrededor de un eje vertical que pasa por el punto marcado como "Centro desplazable".

3. Al girar el punto rojo, el segmento rota alrededor de un eje vertical que pasa por el punto marcado como "Centro desplazable".

4. El segmento azul y el segmento proyectado no son siempre paralelos porque el plano de proyección es siempre perpendicular a la recta que pasa por el foco y el centro, y esa recta no tiene por qué ser también perpendicular al segmento.

5. Al girar el punto rojo, el cuadrado rota alrededor de un eje vertical que pasa por el punto marcado como "Centro desplazable".

6. Porque si el ángulo de giro marca 0º entonces el plano del cuadrado se encuentra paralelo al plano de la pantalla del monitor, es decir, estamos mirando al cuadrado justo de frente.

7. Si el ángulo de giro marca 90º entonces el plano del cuadrado se encuentra perpendicular al plano de la pantalla del monitor, es decir, estamos mirando al cuadrado justo "de lado", así que vemos sus vértices alineados y solo distinguimos una dimensión.

8. Para que los vértices de la sombra aparezcan también alineados habrá que desplazar el foco de iluminación hasta que la misma dirección señalada por los vértices del cuadrado.

9. Las sucesivas secciones parten de un punto (uno de los vértices), se convierten en segmentos de tamaño creciente hasta alcanzar la longitud máxima en la diagonal del cuadrado y después comienzan a acortarse hasta alcanzar el vértice opuesto al de salida.

10. Los puntos extremos de las sucesivas secciones parten del vértice de salida y al alcanzar un nuevo vértice siguen los lados no recorridos.

11. Al girar el punto rojo, el cubo rota alrededor de un eje vertical que pasa por el punto marcado como "Centro desplazable".

12. Los vértices de las sucesivas secciones parten del vértice de salida y al alcanzar un nuevo vértice siguen las aristas no recorridas. Como en cada vértice concurren tres aristas, al acabar de recorrer la primera arista cada vértice se desdobla en dos para recorrer las dos aristas que, junto a la ya recorrida, concurren en el vértice.

13. Como el cubo tiene 8 vértices, la mitad de ellos tendrán sus parejas opuestas, así que hay 4 diagonales principales.

14. Las sucesivas secciones parten de un punto (uno de los vértices), se convierten en triángulos de tamaño creciente hasta alcanzar el tamaño máximo al coincidir sus lados con las diagonales de las caras del cubo que concurren en el vértice de salida, se transforman en hexágonos hasta que los lados vuelven a coincidir con las otras diagonales de las otras tres caras del cubo y por último vuelven a ser triángulos que comienzan a acortarse hasta alcanzar el vértice opuesto al de salida. Todos los triángulos que aparecen son equiláteros, pues al ser el corte siempre perpendicular a la diagonal principal (un eje de simetría del cubo) los vértices de la sección se distribuyen de forma simétrica en las tres aristas afectadas y por tanto la distancia entre dos de ellos no depende de cuáles elijamos.

15. Las mayores secciones triangulares que podemos encontrar se encuentran al unir los tres vértices contiguos al de salida (t=1) y los tres vértices contiguos al de llegada (t=2). En tales casos, el lado de los triángulos equiláteros es la diagonal de una cara del cubo, así que aplicando el teorema de Pitágoras y tomando como unidad la arista, mide "raíz cuadrada de 2" (aproximadamente 1.41) veces la arista.

16. La sección será un hexágono regular cuando pase por los puntos medios de 6 aristas (t=1.5). En tal caso, el lado del hexágono es la diagonal de la cuarta parte de una cara del cubo, es decir, tomando como unidad la arista, la diagonal de un cuadrado de lado 0.5, así que aplicando el teorema de Pitágoras mide "raíz cuadrada de 0.5" (aproximadamente 0.71) veces la arista. Es justo la mitad de lo que medía el lado del mayor triángulo equilátero.

17. Al girar el punto rojo, el hipercubo rota alrededor de un eje vertical que pasa por el punto marcado como "Centro desplazable".

18. Como el hipercubo tiene 16 vértices, la mitad de ellos tendrán sus parejas opuestas, así que hay 8 diagonales principales.

19. Los vértices de las sucesivas secciones parten del vértice de salida y al alcanzar un nuevo vértice siguen las aristas no recorridas. Como en cada vértice concurren cuatro aristas, al acabar de recorrer la primera arista cada vértice se desdobla en tres para recorrer las tres aristas que, junto a la ya recorrida, concurren en el vértice. Después, al llegar al siguiente vértice, se desdobla en dos, y finalmente, al llegar al penúltimo vértice sigue la única arista que le queda por recorrer dirigiéndose al vértice opuesto del de salida.

20. Aparecen tetraedros, tetraedros truncados y un octaedro.

21. Los mayores tetraedros que podemos encontrar se encuentran al unir los cuatro vértices contiguos al de salida (t=1) y los cuatro vértices contiguos al de llegada (t=3). En tales casos, la arista de los tetraedros es la diagonal de una cara de un cubo, así que aplicando el teorema de Pitágoras y tomando como unidad la arista, mide "raíz cuadrada de 2" (aproximadamente 1.41) veces la arista.

22. La sección será un tetraedro truncado cuando pase por los puntos medios de 6 aristas (t=1.5). En tal caso, el lado del hexágono es la diagonal de la cuarta parte de una cara de un cubo, es decir, tomando como unidad la arista, la diagonal de un cuadrado de lado 0.5, así que aplicando el teorema de Pitágoras mide "raíz cuadrada de 0.5" (aproximadamente 0.71) veces la arista. Es justo la mitad de lo que medía la arista del mayor tetraedro.

23. La sección será un octaedro cuando la cortadora se encuentre justo a mitad del recorrido (t=2). Tomando como unidad la longitud de la arista de un cubo, la arista del octaedro medirá "raíz cuadrada de 2" (aproximadamente 1.41) veces la arista de un cubo, pues es una diagonal de una de sus caras.

24. El efecto de variar los deslizadores d1, d2 y d3 es el desplazamiento del centro del cubo opuesto a C1 (el cubo C8) respecto al centro del cubo C1 (el punto "Centro desplazable") en tres direcciones mutuamente perpendiculares.

25. En todas las dimensiones podemos realizar un recorrido (hamiltoniano) que pase una sola vez por todos los vértices. Sin embargo, no es posible realizar un un recorrido (euleriano) que pase una sola vez por todas las aristas del cubo (dimensión 3), pues tiene más de dos vértices de valencia impar.