## Racional (5): La hipérbola como función

Si colocamos una hipérbola equilátera de forma que sus asíntotas (que son perpendiculares porque la hipérbola es equilátera) coincidan con los ejes cartesianos, entonces cada recta vertical cortará a la hipérbola equilátera en un solo punto. Esto permite considerar a la hipérbola equilátera como la gráfica correspondiente a alguna función. Pero... ¿qué función es esa?

En esta actividad introducimos una hipérbola equilátera particular en el sistema de coordenadas, colocando el centro C en el origen (0, 0) y el vértice V en (1, 1). Esa posición facilita averiguar la relación de dependencia de la ordenada Y respecto a la abscisa X de todos y cada uno de sus puntos, es decir, podemos hallar su ecuación.

Preguntas

1. Observa detenidamente la figura. La hipérbola equilátera (por tanto de excentricidad ) tiene centro en el origen de coordenadas (0, 0), el eje principal en la recta y = x (en azul claro), y su vértice en el punto (1, 1). También hemos trazado la directriz (en azul oscuro). Sabemos que la proporción entre la distancia del foco al centro y la distancia del vértice al centro es igual a la excentricidad (). Demuestra que entonces las coordenadas del foco F han de ser (, ).

2. Hemos trazado una paralela al eje de ordenadas por P y una paralela al eje de abscisas por F. Puedes mover el punto P (X, Y) sobre la hipérbola (solo sobre una rama para no complicar la construcción). Observa que X = - SF y que Y = PS + . ¿Por qué? Además, se cumple que ST = SR = X. ¿Por qué?

3. El triángulo DTP es un triángulo isósceles rectángulo. ¿Por qué?

4. Como el triángulo DTP es isósceles, tenemos que DT = PD. Como además es rectángulo, tenemos que PT2 = DT2 + PD2. Deduce que entonces ha de cumplirse que PT = PD.

5. Como P es un punto de la hipérbola, por definición debe cumplir que PF = PD, lo miso que cumple PT, por lo tanto, PF = PT.
   Observa ahora el triángulo verde, es un triángulo rectángulo, así que PF2 = PS2 + SF2. Como PF = PT, la anterior igualdad se convierte en PT2 = PS2 + SF2.
   Ahora bien, PT = PS + ST, así que tenemos (PS + ST)2 = PS2 + SF2. Simplifica esta expresión para llegar a la igualdad ST2 + 2 PS ST = SF2.

6. Si ahora consideramos las igualdades que aparecen en la pregunta 2, podemos sustituir ST por X, PS por Y - , SF por - X, es decir, X2 + 2 (Y - ) X = ( - X)2. Simplifica esta expresión hasta llegar a la ecuación de esa hipérbola equilátera: Y = 1/X.

7. Haz clic en el botón Reiniciar. Activa la casilla Punto. Mueve el punto A y comprueba en distintas posiciones que sus coordenadas cumplen la relación Y = 1/X.

8. Observa que la misma igualdad se puede escribir como X Y = 1. Esta igualdad puede interpretarse geométricamente como que el área X Y del rectángulo amarillo se mantiene siempre constante e igual al área del cuadrado rojo, determinado por el centro y el vértice. ¿Por qué?

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