Soluciones

1. El área aumenta cada vez más rápido cuando se separa el proyector de la pantalla. Es bastante probable que bastantes estudiantes no precisen que ese aumento del área con la distancia no es lineal y, en consecuencia, opten por dibujar una recta para describir la relación, lo cual no es correcto. En tal caso ellos mismos podrán valorar su error más adelante.

2. Los valores de la tabla, que pueden comprobarse con la aplicación, son los siguientes:

   Distancia a la pantalla (m) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
   Área de la imagen (m2) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81

3. Si la distancia a la pantalla fuera de 10 m el área de la imagen sería de 100 m2. Si fuera de 20 m, el área proyectada sería de 400 m2. Calculamos el área elevando al cuadrado la distancia del proyector a la pantalla.

4. Si llamamos x a la distancia a la pantalla, en metros, e y al área proyectada, medida en metros cuadrados, la expresión algebraica que nos permite calcular y a partir de x es:

   y = x2

5. La magnitud representada en el eje OX es la distancia del proyector a la pantalla. En el eje OY se ha representado el área de la imagen proyectada. Al comparar el gráfico construido con precisión con el esbozo inicial pueden valorar los posibles errores cometidos.

6. Respondemos a las preguntas siguientes consultando la gráfica:

   1. El área de la imagen proyectada cuando colocamos el proyector a 2,5 metros de la pantalla es de unos 6 metros cuadrados. Si lo colocamos a 5 metros el área es de 25 metros cuadrados. Si la distancia es de 7,5 metros el área es de unos 56 metros cuadrados.

   2. Para que el área de la imagen proyectada sea de 20 metros cuadrados hemos de colocar el proyector a unos 4,5 metros. Para que sea de 40 metros cuadrados, la distancia a la pantalla tiene que ser de unos 6,3 metros. Para que sea de 60 metros cuadrados, la distancia debe ser de unos 7,8 metros.

   3. Con los datos del apartado anterior podemos concluir que no: la distancia a la pantalla no es el doble cuando el área proyectada es de 40 metros cuadrados que cuando es de 20 metros cuadrados. Para que el área proyectada sea doble no colocamos el proyector a distancia doble.

7. Para una misma distancia, cuanto menor es el ángulo menor es el área de la imagen proyectada.

8. Los valores de la tabla, que también se pueden comprobar con la aplicación, son los siguientes:

   Distancia a la pantalla (m) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
   Área de la imagen (m2) | 0 | 0,53 | 2,12 | 4,77 | 8,48 | 13,25 | 19,08 | 25,96 | 33,91 | 42,92

9. El valor que obtenemos es A=0,53. Por tanto la expresión algebraica será:

   y = 0,53 x2

10. Leemos el valor de A en la tabla de valores. Es el que corresponde a la distancia de 1 metro. Cuando el ángulo es de 15º, A=0,29. Si el ángulo es de 25º, el valor es A=0,87.

11. Cuanto menor es el valor de A la gráfica más se aproxima a una recta. Cuando el ángulo es de 0º, el valor de A es 0 y la gráfica es una recta horizontal.

12. El valor de A indica el área de la imagen proyectada cuando colocamos el proyector a un metro de distancia de la pantalla.