Soluciones Un cuadro de clasificación de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de reconocimiento del grupo.

1. El azulejo tiene simetrías de reflexión y rotación de orden 2.

2. El azulejo se ha dividido en cuatro partes por las dos diagonales del rombo.

3. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja en la diagonal de cada uno de los azulejos, y después vuelve a reflejarse en la otra diagonal o bien, equivalentemente, rota el conjunto 180º alrededor del centro de cada rombo. Esto se debe a que esas mismas acciones son las que permiten repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero.

4. Los vectores indican las direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual a la diagonal correspondiente del rombo. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de los vectores base de traslación). También podríamos tomar como vectores de traslación los correspondientes a los lados del rombo (la ventaja que tiene escoger como base las diagonales es que son perpendiculares).

5. Al activar la casilla "Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros de rotación del motivo decorativo. Pero también aparecen dos conjuntos de centros más debido a la repetición (por traslación) del azulejo en el mosaico.

6. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" aparece un haz de rectas paralelas (violetas) indicando los espejos o ejes de reflexión. Como cada azulejo tiene su espejo, al crear el mosaico se alinean los espejos formando ese haz. El otro haz de rectas paralelas (amarillas) es perpendicular al anterior.

7. Esa línea será un eje de reflexión desplazada.

8. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

9. Al rotarla 180º la copia coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado (o pudo serlo) de igual forma para construir el azulejo. La coincidencia se da en cada centro de rotación señalado con un punto rojo. Todas las rotaciones son de orden 2.

10. El centro que no está sobre espejos es el correspondiente al punto medio del lado del rombo.

11. Esta es una de las maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay dos isometrías, la reflexión y la rotación de orden 2. Pero al formar el mosaico añadimos un conjunto de traslaciones. Al componer estas traslaciones con la rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original (traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía esa simetría.

12. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa misma dirección. Lo mismo sucede con la reflexión vertical.

13. Aunque en la construcción del azulejo hayamos empleado solo una reflexión (horizontal) esto no significa que el propio azulejo carezca de la otra reflexión (vertical). La posee debido a que la composición de dos reflexiones perpendiculares equivale a la rotación de orden 2.

14. Una composición de dos reflexiones perpendiculares equivale a una rotación de orden 2.

15. Una composición de una reflexión y una rotación de orden 2 con centro en el espejo equivale, en cualquier orden, a una reflexión en la dirección perpendicular. Si el centro está fuera del espejo, equivale a una reflexión desplazada.

16. El grupo 2*22 tiene como isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo, las reflexiones sobre una de las diagonales del azulejo, las reflexiones con desplazamiento sobre ejes situados a mitad de camino entre los ejes de reflexión, y tres conjuntos independientes de rotaciones de orden 2 (uno de ellos con centros fuera de los espejos).

17. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.