Soluciones Funciones pares: simetría respecto al eje OY

1. La relación es y = a x2 + b x + c.

2. Las coordenadas del punto reflejado P' son (-x, a (-x)2 + b (-x) + c) = (-x, a x2 - b x + c).

3. La ecuación es g(x) = a x2 - b x + c.

4. Ambas gráficas coinciden siempre que b = 0.

5. De la igualdad b x = 0 se deduce que b = 0 porque esa igualdad debe cumplirse para cualquier valor de x, así que basta coger x = 1. Otra forma de razonarlo es observando que la recta y = b x solo puede coincidir completamente con la recta y = 0 cuando tengan la misma pendiente b = 0.

6. Para que sea simétrica con respecto al eje OY una función f debe cumplir f(-x) = f(x) para todo valor de x.

Simetría respecto al eje OX

7. Las coordenadas del punto reflejado P' son (x, -(a x2 + b x + c)) = (x, -a x2 - b x - c).

8. La ecuación es g(x) = -a x2 - b x - c.

9. Ambas gráficas coinciden solo cuando a = b = c = 0.

10. De la igualdad a x2 + b x + c = 0 se deduce que a = b = c = 0 porque esa igualdad debe cumplirse para cualquier valor de x. Para x = 0, tenemos que c = 0. Para x = -1, a = b. Para x =1, a + b = 0. Entonces 2a = 0, y por tanto a = b = c = 0. Otra forma de razonarlo es observando que la parábola y = a x2 + b x + c solo puede coincidir completamente con la recta y = 0 cuando todos sus monomios sean nulos.

11. No puede haber otras funciones simétricas respecto al eje OX por la propia definición de función, que impide que un valor x pueda tener dos imágenes distintas. Si la función es simétrica respecto a ese eje entonces para un mismo x tendremos que f(x) y f(-x) serán opuestos. La única forma de que no sean distintos, siendo opuestos, es que sean nulos.

Funciones impares: simetría respecto al origen de coordenadas

7. Las coordenadas del punto reflejado P' son (-x, -(a (-x)2 + b (-x) + c)) = (-x, -a x2 + b x - c).

8. La ecuación es g(x) = -a x2 + b x - c.

9. Ambas gráficas coinciden siempre que a y c sean cero.

10. De la igualdad a x2 + c = 0 se deduce que a = c = 0 porque esa igualdad debe cumplirse para cualquier valor de x, así que basta coger x = 0 y x = 1.

11. Para que sea simétrica con respecto al origen de coordenadas una función f debe cumplir f(-x) = -f(x) para todo valor de x.

Funciones mutuamente recíprocas o inversas

7. Las coordenadas del punto reflejado P' son (y, x).

8. La parábola azul no es la gráfica de una función porque existen valores de x que tienen dos imágenes distintas.

9. La forma explícita es y = x/2.

10. La función inversa de f(x) = x/3 - 1 es x = y/3 -1, es decir, y = 3x + 3.

11. Las funciones lineales f(x) = x, f(x) = -x y las funciones de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x, f(x) = -1/x tienen como característica especial común que son recíprocas de sí mismas, es decir, al aplicarlas dos veces obtenemos la identidad.