## Función afín

En esta actividad partimos del conocimiento de que una función lineal y = a x tiene por gráfica una recta que pasa por el origen de coordenadas O. El coeficiente "a" se llama pendiente e indica el ascenso o descenso producido al pasar de O a un punto A (1, a) sobre la recta, situado una unidad a la derecha de O.

Una simple traslación del origen O nos permitirá ahora generalizar la función lineal obteniendo la función afín de ecuación canónica: y = a (x-x0) + y0.

Esta ecuación se conoce también como ecuación "punto-pendiente", pues, de esta forma, la función afín queda determinada por tres parámetros: la pendiente "a", y las coordenadas x0 e y0 de un punto cualquiera de la recta.

Desarrollando esa expresión obtendremos la forma simplificada (también conocida como ecuación explícita) de la ecuación de la función afín: y = a x + b, donde "b" es la ordenada en el origen. Puedes practicar cómo encontrar rápidamente esta ecuación en esta actividad. Veremos también cómo encontrar la raíz de la función, es decir, el valor de x para el que y se anula.

Preguntas

1. Mueve el punto O' aproximadamente 1.5 unidades hacia la derecha y 0.5 unidades hacia arriba (para favorecer la distinción de las dos rectas que aparecen). El movimiento que acabas de realizar se llama traslación. Al trasladar el punto O has trasladado también todos los puntos del plano: compruébalo moviendo el punto A y el punto P. Toda la recta se han desplazado por igual, así que no ha variado su posición relativa respecto a unos nuevos ejes de coordenadas centrados en el nuevo origen O' (x0, y0).
   Si las coordenadas de O' son (x0, y0), las coordenadas del punto A ahora serán (x0+1, y0+a). ¿Por qué?

2. La posición de la recta ha variado respecto a los ejes de coordenadas reales. Así que para mantener la relación y = a x que existía en todos los puntos de la recta, cuando pasaba por el origen, habrá que devolverlos a su anterior origen sumando a sus coordenadas el vector de traslación opuesto: (-x0, -y0).
   Observa en la construcción que, efectivamente, la posición del punto P respecto a los nuevos ejes es (x-x0, y-y0). La nueva ecuación de la recta es, entonces: y-y0 = a (x-x0), es decir, y = a (x-x0) + y0. Esta ecuación corresponde a cualquier función afín, es decir, a cualquier función cuya gráfica sea una recta no vertical, pase o no por el origen de coordenadas.
   Escribe las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto (2, 1) formando 45º con la horizontal.

3. Encuentra, mentalmente y sin cálculos, un punto por el que pase la recta y = 2(x+1) -3. ¿Cuál es la pendiente de esa recta?

4. Una recta pasa por los puntos P (2, -1) y Q (4, -5). ¿Cuál es su pendiente? ¿Cuál es su ecuación punto-pendiente?

5. Si quitamos el paréntesis en la ecuación punto-pendiente nos queda la expresión y = a x + y0 - a x0. Si llamamos b al número "y0 - a x0", podemos escribir simplemente y = a x + b. Observa que, en esta expresión, cuando x valga 0 (es decir, cuando la recta intercepte el eje de ordenadas), el valor de y coincidirá con b. ¿Qué coordenadas tiene, por tanto, el punto de corte de la recta y = a x + b con el eje OY? El valor de b se conoce como "ordenada en el origen". ¿A qué crees que se debe este nombre?

6. La raíz x1 de la función afín y = a x + b es aquel valor de x (si existe) para el cual el valor de la función se hace cero (y = 0). Encuentra su expresión algebraica. ¿En qué casos no habrá raíz? ¿Qué coordenadas tiene, cuando exista, el punto de corte de la recta y = a x + b con el eje OX?

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