Soluciones

1. Para k = 2, la distancia CE' es 2 veces la distancia CE.

2. El teorema de Tales.

3. Los dos rectángulos verdes que aparecen en la construcción son semejantes porque cada par de lados homólogos son proporcionales al ser lados correspondientes de los triángulos semejantes.

4. Cuando k toma valores negativos todos los puntos que se obtienen como resultado de la homotecia, además de distar k veces, en valor absoluto, la distancia original, se han reflejado en el centro C de la homotecia, es decir, han girado 180º alrededor de ese centro.

5. El rectángulo con vértice en E' será de menor tamaño que el rectángulo con vértice en E cuando k tome valores comprendidos entre -1 y 1.

6. Para k = 2, la distancia CO' es el doble que la distancia CO.

7. En esa homotecia el punto homólogo de C es el propio C (el centro de la homotecia es el único punto del plano que permanece fijo para factores distintos de la unidad).

8. Cuando el factor k toma valores negativos la circunferencia se refleja en C, girando 180º a su alrededor.

9. Podemos deducir que todas las circunferencias son semejantes porque basta trasladar una de ellas hasta hacerlas homólogas respecto a un centro dado (la traslación no afecta a la forma).

10. Para k = 2, la distancia CF' es 2 veces la distancia CF, y la distancia de C' a d' es 2 veces la distancia de C a d.

11. Cuando k toma valores negativos la hipérbola se refleja en el centro C, girando 180º a su alrededor. Como la hipérbola es doblemente simétrica respecto al eje principal y el eje secundario, perpendiculares entre sí en C, esta doble reflexión equivale a una rotación de 180º, es decir, a una reflexión a través de C. Por ello, una homotecia de factor -1 deja invariante a la hipérbola.

12. De esta construcción se puede deducir que todas las hipérbolas con el mismo centro, eje principal y excentricidad son homólogas porque su centro compartido puede servir de centro de homotecia para pasar de una a otra.

13. También podemos deducir que todas las hipérbolas con la misma excentricidad son semejantes porque si no tienen el centro común basta trasladar una de ellas hasta hacer que lo tengan (la traslación no afecta a la forma) y si no tienen el eje principal común basta girar una de ellas para que lo tengan (la rotación no afecta a la forma).

14. Después de aplicar una homotecia de factor 2 a una figura, para devolverla a su tamaño original basta aplicar una homotecia de factor 1/2.