Soluciones Un cuadro de clasificación de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de reconocimiento del grupo.

1. El azulejo tiene simetría de reflexión desplazada.

2. El azulejo se ha dividido en dos partes uniendo los puntos medios de dos lados opuestos paralelos (en adelante llamaremos mediana a esta recta).

3. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja en la mediana de cada uno de los azulejos y se desplaza respecto al origina siguiendo la dirección de la mediana. Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero.

4. Los vectores indican las direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado correspondiente del rectángulo.

5. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de los vectores base de traslación).

6. Al activar la casilla "Centros de rotación" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha sido rotado.

7. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha sido reflejado (ha sido una reflexión desplazada, no una reflexión).

8. El mosaico presenta reflexiones desplazadas con ejes en las medianas.

9. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

10. No existe ningún ángulo (salvo 0º o 360º) en que la copia coincida con el original porque el motivo decorativo no fue rotado.

11. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión desplazada en esa misma dirección.

12. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión desplazada en esa misma dirección. Este segundo eje, paralelo al anterior, aparece al trasladar el azulejo porque una traslación equivale a la composición de dos reflexiones desplazadas.

13. Una traslación.

14. Una composición de dos reflexiones paralelas equivale a una traslación.

15. El grupo xx tiene como isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo, las reflexiones desplazadas sobre una de las medianas del azulejo y las reflexiones desplazadas sobre el lado paralelo a esa mediana.

16. La diferencia está en que unos no poseen ningún tipo de rotación y los otros sí.

17. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.