Soluciones

1. El azulejo se ha dividido en cuatro partes uniendo los puntos medios de los dos lados horizontales (en adelante llamaremos eje vertical a esta recta) y verticales (en adelante llamaremos mediana a esta recta).
   Las simetrías no dependen del motivo decorativo (a no ser que este disponga de ellas) así que si cambiamos el dibujo del cisne por otro motivo cualquiera, que no tenga simetría, no podrán aparecer más o menos simetrías que las que aparecen con el cisne.
   Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja la celda primitiva en el eje vertical de cada uno de los azulejos y luego se rota 180º el conjunto. Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero.

2. Los vectores indican la dirección y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al ancho del azulejo.
   Al activar la casilla "Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros de rotación del motivo decorativo. Pero también aparece un conjunto de centros más debido a la repetición (por traslación) del azulejo en el mosaico.
   Al activar la casilla "Ejes de reflexión" aparece el espejo de la mediana (violeta) y los espejos de los ejes verticales (amarillo). Además de esos ejes aparecen las rectas paralelas en medio de ellos, surgidos al trasladar el azulejo.

3. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

4. Al rotarla 180º la copia coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de igual forma para construir el azulejo. El único punto de la copia que coincide en todo el proceso de rotación con el original es el extremo de la chincheta.
   La copia rotada 180º coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se encuentre en uno de los centros de rotación, pues la simetría de rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada centro es siempre 2.
   Esta es una de las maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay una rotación de orden 2. Pero al formar el mosaico añadimos un conjunto de traslaciones. Al componer estar traslaciones con la rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría del azulejo.

5. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa misma dirección.
   El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión vertical. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa dirección.
   El segmento discontinuo rojo representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión desplazada.
   Al rotar la reflexión horizontal el resultado es una reflexión vertical.
   La composición de dos reflexiones perpendiculares equivale a una rotación de 180º.

6. El grupo *22∞ tiene como isometrías las traslaciones determinadas por el ancho del azulejo, las reflexiones sobre los ejes verticales y la mediana, y las rotaciones sobre sobre los centros de los azulejos y los puntos medios de sus lados verticales.

7. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.