Soluciones

1. La proporción entre el cateto mayor y el menor del triángulo rectángulo verde es la excentricidad e.

2. Se muestra un punto cualquier de la hipérbola y sus distancias al foco y a la directriz, debido a que lo que caracteriza a cualquiera de esos puntos es que la proporción entre estas distancias ha de ser igual a la excentricidad.

3. El lado recto de una hipérbola mide 2 p e.

4. Se muestra el eje principal o focal, que es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco, debido a que es un elemento importante al ser un eje de simetría de la hipérbola.

5. El radio de la circunferencia que aparece mide p. La distancia FR es p e + p. Al trazar una paralela a DR por el punto E obtenemos la posición exacta de V porque al ser semejantes los triángulos VFE y DFR, se cumple que VF/VD = FE/ER = p e / p = e, es decir, VF = e VD, que es la relación que debe cumplir V por estar en la hipérbola.

6. La distancia FS es p e - p. Al trazar una paralela a DS por el punto E obtenemos la posición exacta de V' porque al ser semejantes los triángulos V'FE y DFS, se cumple que V'F/V'D = FE/ES = p e / p = e, es decir, V'F = e V'D, que es la relación que debe cumplir V' por estar en la hipérbola.

7. Al ser semejantes los triángulos FCE y FVS, se cumple que FC/VC = FE/SE = p e / p = e, luego FC = e VC.

8. El eje secundario es la perpendicular al eje principal por el centro de la hipérbola. La hipérbola también es simétrica respecto a ese eje.

9. Se muestran la segunda directriz y el segundo foco existentes debido a la simetría de la hipérbola respecto al eje secundario. Debido a ello, todos los puntos de la hipérbola cumplen que la proporción de sus distancias al segundo foco y a la segunda directriz se mantiene también constante e igual a la excentricidad.

10. Esa diferencia constante tiene que equivaler a la distancia entre los vértices porque, como la han de mantener todos los puntos de la hipérbola, deben mantenerla también un vértice, y la diferencia de distancias de un vértice a los focos es justamente la distancia entre los vértices.

11. La relación entre la distancia focal y la distancia entre los vértices es que su proporción es de nuevo la excentricidad (ver pregunta 7).

12. El ancho del rectángulo azul es la distancia entre los vértices y su diagonal mide la distancia focal, así que están en la proporción dada por la excentricidad. Las asíntotas se construyen trazando las rectas que pasan por cada par de vértices opuestos de ese rectángulo.

13. Para que las asíntotas sean perpendiculares, como son las diagonales del rectángulo, el rectángulo ha de ser cuadrado, es decir, los lados del rectángulo han de ser iguales, de ahí el nombre de hipérbola equilátera. El valor de la excentricidad de cualquier hipérbola equilátera será siempre el mismo, exactamente , porque esa es la proporción entre la diagonal y el lado de cualquier cuadrado.