Soluciones

1. Podemos construir las bisectrices interiores con la herramienta Bisectriz, eligiendo tres puntos (el central el vértice). Si elegimos dos rectas, obtendremos además las bisectrices exteriores.

2. Podemos usar la herramienta "Distancia o Longitud" para comprobar que el incentro dista lo mismo de los tres lados.

3. El incentro es el centro de la circunferencia tangente a los tres lados porque el centro de esta circunferencia dista lo mismo de los puntos de tangencia con los lados.

4. La mayor circunferencia que cabe dentro del triángulo ABC es la circunferencia inscrita, porque cualquier otra circunferencia podría agrandarse alejándose de un vértice hasta tocar el lado opuesto.

5. El punto del triángulo ABC más alejado de los lados es precisamente el incentro porque es el centro de la mayor circunferencia contenida en el triángulo.

6. Tenemos que:

   1. Esas dos partes son congruentes porque tienen los tres ángulos iguales (triángulos rectángulos con en los que otro ángulo es la mitad del valor del ángulo en el vértice, bisecado por la bisectriz) y un lado común.

   2. Como los triángulos son congruentes, las longitudes de sus lados son iguales, así que el perímetro completo será a + b + c = (z + x) + (x + y) + (y + z) = 2 (x + y + z).

   3. De aquí se deduce lo que queríamos demostrar, pues el área del triángulo ABC será r (x + y + z), y por tanto, r = ABC/(x + y + z) = ABC/S, donde S es el semiperímetro del triángulo ABC.