Soluciones

1. La tabla completa queda como sigue:

   n | Rectangular | Triangular | Cuadrado | Pentagonal | Hexagonal
   1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1
   2 | 6 | 3 | 4 | 5 | 6
   3 | 12 | 6 | 9 | 12 | 15
   4 | 20 | 10 | 16 | 22 | 28
   5 | 30 | 15 | 25 | 35 | 45
   6 | 42 | 21 | 36 | 51 | 66
   7 | 56 | 28 | 49 | 70 | 91
   8 | 72 | 36 | 64 | 92 | 120
   9 | 90 | 45 | 81 | 117 | 153
   10 | 110 | 55 | 100 | 145 | 190

2. Las dimensiones del primer rectángulo son 1x2; las del segundo 2x3; las del tercero 3x4. El décimo será 10x11. Calculamos el número rectangular multiplicando las dimensiones (número de filas por el número de círculos en cada fila).

3. El rectángulo que ocupa el lugar n tiene de dimensiones n y n+1. Por tanto el número rectangular que ocupa el lugar n es:

   R(n) = n·(n+1)

4. Ver tabla superior.

5. Los números de la columna 2 son el doble de los números de la columna 3.

6. Vemos que el número rectangular es justamente el doble del número triangular, lo que se corresponde con la relación descubierta en la tabla.

7. El número triangular que ocupa el lugar n es la mitad del número rectangular de la misma dimensión. Por tanto:

   T(n) = n·(n+1)/2

8. Para hallar el segundo triangular: 1+2; para el tercero: 1+2+3; para el cuarto: 1+2+3+4; para el décimo: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10. Para el que ocupa el lugar 100: 1+2+3+4+...+98+99+100.

9. Dado que ya sabemos cómo calcular el enésimo número triangular, tendríamos:

   1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + n = n·(n+1)/2

10. Ver tabla superior.

11. Elevando al cuadrado n:

    C(n) = n2

12. Se comprueba que los valores de la segunda columna se pueden obtener sumando los correspondientes valores de la primera y de la cuarta columna. Al superponer los números rectangulares y cuadrados se puede ver que el número rectangular es igual al cuadrado más la columna de la derecha, formada por n elementos.

13. Un número cuadrado es la suma del triangular del mismo orden y del triangular anterior: C(n)=T(n)+T(n-1). La relación se puede ver en la tabla y también geométricamente superponiendo los números triangulares con los cuadrados. También se puede demostrar que n2=n·(n+1)/2 + (n-1)·n/2.

14. Ver tabla superior.

15. En la figura se puede ver que uno de los triángulos representa el número triangular de orden 6 y los otros dos son números triangulares de orden 5. Podemos ver en la tabla que un número pentagonal es la suma del número triangular del mismo orden y dos veces el número triangular anterior: P(n)=T(n)+2·T(n-1).

16. Por ejemplo, a partir de la relación P(n)=T(n)+2·T(n-1) llegamos a:

    P(n) = (3n2 - n)/2

17. Ver tabla superior.

18. Un número hexagonal es la suma del número triangular del mismo orden y tres veces el número triangular anterior: H(n)=T(n)+3·T(n-1). Se puede comprobar la relación en la tabla. Geométricamente quiere decir que un número triangular puede se descompuesto en cuatro números triangulares, uno del mismo orden y dos de un orden menos. Por ejemplo, en el hexagonal de orden 6 podemos hacer la siguiente división:

19. Por ejemplo, a partir de la relación H(n)=T(n)+3·T(n-1) llegamos a:

    H(n) = (4n2 - 2n)/2 = 2n2 - n

20. Se pueden encontrar múltiples relaciones. Por ejemplo:

P(n) = C(n) + T(n-1); H(n) = 2·C(n) - n; P(n) = T(n) + R(n-1); ...

21. En la siguiente tabla se recogen los 10 primeros términos de cada una de las sucesiones de números poligonales. En cada caso el número poligonal de orden p es igual a la suma del número triangular del mismo orden y de p-3 veces el número triangular anterior: Np(n) = T(n) + (p-3) T(n-1).

n | Rectangular | Triangular | Cuadrado | Pentagonal | Hexagonal | Heptagonal | Octogonal | Eneagonal
1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1
2 | 6 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
3 | 12 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24
4 | 20 | 10 | 16 | 22 | 28 | 34 | 40 | 46
5 | 30 | 15 | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 | 75
6 | 42 | 21 | 36 | 51 | 66 | 81 | 96 | 111
7 | 56 | 28 | 49 | 70 | 91 | 112 | 133 | 154
8 | 72 | 36 | 64 | 92 | 120 | 148 | 176 | 204
9 | 90 | 45 | 81 | 117 | 153 | 189 | 225 | 261
10 | 110 | 55 | 100 | 145 | 190 | 235 | 280 | 325

22. A partir de la relación anterior podemos llegar a la fórmula pedida: