Soluciones

1. Aparece la herramienta "Punto Medio o Centro", que permite crear el punto medio entre dos puntos, el punto medio de un segmento, o el centro de una circunferencia, elipse o hipérbola, y se aplica haciendo clic en los dos puntos o en el segmento o cónica.
   La otra herramienta es "Refleja Objeto por Punto", que permite reflejar un objeto (punto, polígono...) en un punto, y se aplica haciendo clic primero en el objeto a reflejar y luego en el punto.

2. Los dos iconos son muy parecidos porque en ambos aparece un punto central: en el primer caso el punto medio rojo y en el segundo caso el centro de reflexión azul. Se diferencian en la posición del objeto creado, identificado con el color rojo. En el primer caso el objeto creado coincide con el punto central, mientras que en el segundo caso se sitúa simétricamente respecto al punto central.

3. Se debe esperar a que el puntero cambie su forma de cruz a flecha antes de hacer clic con la herramienta.

4. La reflexión puntual equivale a un giro de 180º alrededor del punto.

5. Todos los azulejos encajan perfectamente porque, al girarlos 180º por los puntos medios de sus lados, el lado girado y el lado original siguen coincidiendo (el punto medio lo es de ambos) y los 4 vértices del cuadrilátero coincidirán tras tres reflexiones.

6. Todo sigue encajando incluso si el cuadrilátero no es convexo.

7. Al activar la primera casilla, señalada con un ángulo verde, aparece uno de los ángulos del cuadrilátero y todos los iguales a él en los otros cuadriláteros, debido a las sucesivas reflexiones.

8. En cada vértice aparecen los cuatro ángulos formando un círculo perfecto porque los sucesivas reflexiones de los 4 vértices coinciden en cada vértice y porque la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es siempre de 360º.

9. Al activar la última casilla, "Red invisible", aparece la malla de rectas paralelas que pasan por todos los puntos medios de los lados de los azulejos, ya que estos puntos medios permanecen fijos (insensibles a los giros) al ser los centros de reflexión puntual.

10. El teorema de Varignon garantiza la regularidad de la "red invisible" (impide el eventual zig-zag que puede verse en la sucesión de los lados) al demostrar que cada una de sus celdas ha de tener los lados paralelos.