Soluciones

1. Si el baricentro coincide con el centro de gravedad, tendrá que estar situado en cada una de las medianas porque cada mediana divide al triángulo en dos partes de igual área.

2. Cada mediana divide al triángulo en dos partes de igual área porque cada parte tiene la misma base (la mitad del lado) y la misma altura.

3. Tenemos:

   1. El segmento A'B' es paralelo al lado AB y mide la mitad de ese lado porque los triángulos ABC y A'B'C son semejantes con razón de semejanza 1/2.

   2. El segmento MN es paralelo al lado AB y mide la mitad de ese lado porque los triángulos ABG y MNG son semejantes con razón de semejanza 1/2.

   3. Por tanto A'B' y MN son paralelos entre sí y de igual medida, por lo que el cuadrilátero azul es un paralelogramo.

   4. Como las dos diagonales del paralelogramo se cortan en su punto medio, GA' = GM = 1/2 GA.

4. Al unir el baricentro G con los lados se forman 3 tres triángulos cuyas áreas notaremos T1, T2 y T3. Cada mediana divide al triángulo ABC en dos mitades, cada una comprendiendo uno de esos triángulos y la mitad de otro. Por tanto, T1 + T2/2 = T2 + T3/2 = T3 + T1/2, y de ahí T1 = T2 = T3. A su vez, cada uno de estos triángulos está formado por dos triángulos de la misma área (igual base y altura). Así que los 6 triángulos tienen la misma área.

5. El triángulo medial es semejante al triángulo ABC porque cada uno de sus lados es paralelo y de longitud la mitad que el correspondiente lado de ABC.

6. Como la relación de longitudes entre el triángulo medial y el triángulo ABC es 1/2, la razón de áreas será su cuadrado, 1/4.

7. El triángulo medial del triángulo medial es homotético al triángulo ABC con centro de homotecia el baricentro G y factor de homotecia 1/4. Llamemos C'' al vértice correspondiente a C. Entonces la distancia de C'' a C es la mitad de C'C, que a su vez es 3/4 de GC. Por tanto, GC'' = 1/4 GC.