## Grupos de isometrías de los mosaicos

Un mosaico periódico es una distribución regular e infinita de un dibujo por todo el plano. Periódicamente, cada cierta distancia y en cualquier dirección, todo se repite exactamente igual, de tal forma que, al recorrerlo con la vista, nos resulta imposible distinguir qué parte del mosaico estamos viendo en cada momento. Como el plano tiene dimensión 2, bastan dos direcciones distintas para cubrirlo con azulejos trasladados sucesivamente. Así que para formar un mosaico periódico basta con realizar el mismo dibujo sobre azulejos con forma de paralelogramo.

Los azulejos

Imagina pues una pared infinita completamente cubierta por azulejos idénticos con forma de paralelogramo, todos ellos colocados en la misma orientación. Estos azulejos pueden tener distintos tipos de simetrías, pues existen diferentes tipos de paralelogramos: romboide, rombo, rectángulo, cuadrado y diamante (que es un rombo con ángulos agudos de 60º, es decir, divisible en dos triángulos equiláteros).

Observa que la mitad de cada paralelogramo corresponde a diferentes tipos de triángulos: escaleno, isósceles, rectángulo, rectángulo isósceles y equilátero.

El motivo decorativo y la celda primitiva

Ahora bien, a su vez en cada azulejo-paralelogramo puede aparecer el mismo dibujo, llamado motivo decorativo, repetido de distintas formas, mediante reflexiones, rotaciones o reflexiones desplazadas. Hay una infinitud de posibles formas de repetir el motivo en el azulejo, pero los matemáticos han demostrado que teniendo en cuenta la forma del azulejo y las repeticiones de los motivos decorativos en él, sorprendentemente solo existen 17 maneras de disponer simetrías que distribuyan los motivos en el mosaico.

La forma del azulejo es importante porque según tenga o no cierto tipo de simetría podremos disponer o no copias simétricas del motivo decorativo en su interior. Por ejemplo, la simetría rotacional del cuadrado permite dividirlo en cuatro partes iguales, elegir una (llamada celda primitiva, resaltada en amarillo en el azulejo enmarcado de la siguiente imagen), dibujar el motivo en ella y rotarlo 90º sucesivas veces. Esto no se podría hacer si el azulejo no fuera cuadrado.

Mosaicos maravillosos

Pero... ¿qué sucede si deseamos cubrir la pared con azulejos de otras formas (polígonos cóncavos, por ejemplo, o triángulos o cuadriláteros cualesquiera, o figuras de animales que encajen unas con otras...), o en distintas orientaciones (girados, volteados, etc.)? Pues lo curioso es que no lograremos encontrar ni un sola posibilidad más además de esas 17. Dicho de otra forma, cualquier mosaico periódico creado con otras disposiciones de azulejos puede ser reproducido usando solamente azulejos con forma de paralelogramo colocados todos en la misma orientación.

Cada una de esas 17 posibilidades se denomina "grupo de isometrías" del mosaico. En total, existe 2 grupos basados en el azulejo romboide, otros 2 en el rombo, 5 en el rectángulo, 3 en el cuadrado y otros 5 en el diamante: 2 + 2 + 5 + 3 + 5 = 17.

Así que si vemos un mosaico que nos gusta mucho y queremos realizar nuestra propia versión con otros dibujos y colores pero manteniendo el mismo juego visual de simetrías, lo primero que tendremos que hacer es averiguar a qué grupo de isometrías corresponde ese mosaico.

Las isometrías

Las isometrías ("iso", igual; "metría", medida) son simetrías que conservan la forma y el tamaño. La homotecia (ampliación o reducción de una imagen) es una simetría en el sentido que produce una copia que conserva el aspecto de la imagen original, pero no es una isometría porque no conserva el tamaño.

Una isometría de un mosaico es una operación que realizamos al mosaico completo de forma que una vez realizada obtenemos exactamente el mismo mosaico original (aquí no consideramos cambios de color, solo observaremos la forma). Por ejemplo, imagina un tablero de ajedrez infinito. Si hacemos una copia de ese tablero y la hacemos avanzar una casilla (es decir, la trasladamos una unidad), la copia y el original volverán a coincidir exactamente (insistimos en que no nos importa el color, solo la forma, y que el mosaico es infinito así que no nos sobrará ni faltará ninguna fila de casillas). Decimos entonces que esa traslación es una isometría de ese mosaico. Si giramos todo el tablero infinito 90º alrededor de una esquina de cualquier casilla también volverá a coincidir con el original. Así que esa rotación también es una isometría del tablero.

Solo existen cuatro tipos diferentes de isometrías planas:

- Traslación. Consiste en desplazar todo el mosaico cierta distancia en determinada dirección. Todos los mosaicos periódicos tienen dos traslaciones independientes, es decir, dos direcciones distintas en las que desplazar todo el mosaico sin variarlo. Puede haber más traslaciones, pero dependientes de esas dos. Las traslaciones las empleamos al colocar todos los azulejos, uno junto al otro, hasta cubrir todo el plano formando un mosaico infinito.

- Rotación. Consiste en girar el motivo cierto ángulo respecto a un punto (centro de rotación). Llamamos orden de rotación al divisor de 360º que nos da el ángulo. Si el orden es 1 no hay giro (360º/1 es equivalente a 0º), si el orden es 2 el giro es de 180º, si es 3 de 120º, etc. En los mosaicos las únicas rotaciones posibles, además de las obvias de orden 1, son las de orden 2, 3, 4 o 6.

- Reflexión o simetría axial. Consiste en darle la vuelta al motivo (giro espacial de 180º alrededor de una recta), o, equivalentemente, reflejarlo en un espejo (eje de reflexión).

- Reflexión desplazada. Consiste en reflejar el motivo y después trasladar la copia medio azulejo en la dirección del eje de reflexión (piensa, por ejemplo, en las huellas que dejas al andar recto por una playa: los pies son simétricos, pero, al andar, cada pie avanza respecto al otro).

Combinándolas de distintas formas obtenemos cada uno de los 17 grupos.

Notación de cada grupo

Existen diversas notaciones para cada grupo de isometrías. Aquí usaremos una de las más usadas, la notación topológica de Conway. Indicamos también la notación cristalográfica por si buscas referencias en páginas web que la usen.

- Cada * indica una reflexión (presencia de un espejo o eje de reflexión).

- Cada número indica un centro de rotación y su orden de rotación (2, 3, 4 o 6). Si el número va antes del * se trata de un centro de rotación pura (no situado en ningún espejo) y si va después se trata de un centro situado en el espejo.

- Cada x indica una reflexión desplazada.

- El símbolo "o" se reserva para el único caso en que no hay más simetrías que las traslaciones. En los demás grupos se da por supuesto que todos son simétricos por traslación.

Es importante señalar que en la notación solo aparecen los elementos independientes, es decir, aquellos que no pueden crearse a partir del resto. Por ejemplo, si tenemos un espejo y un centro de rotación de orden 3 aparecerán otros dos espejos al hacer rotar 120º y 240º el primer espejo.

El diamante y el hexágono regular

Hemos sustituido el azulejo diamante por el azulejo hexágono regular porque generan azulejados equivalentes (ver la siguiente figura, con las dos tramas superpuestas) y el segundo, al ser más familiar, nos resulta más fácil de percibir.

Los 17 grupos de mosaicos periódicos

Nº | Notación topológica | Notación cristalográfica | Forma del azulejo | Celda primitiva | Construcción del azulejo a partir de la celda primitiva
1 | o | p1 | Romboide | 1/1 | Se traslada el azulejo en dos direcciones independientes, sin más. (Esto se da por supuesto en los demás grupos.)
2 | 2222 | p2 | Romboide | 1/2 | Se rota 180º la celda primitiva.
3 | *x | cm | Rombo | 1/2 | Se refleja la celda primitiva.
4 | 2*22 | cmm | Rombo | 1/4 | Se refleja la celda primitiva y se rota 180º el conjunto.
5 | ** | pm | Rectángulo | 1/2 | Se refleja la celda primitiva.
6 | xx | pg | Rectángulo | 1/2 | Se refleja con desplazamiento la celda primitiva.
7 | *2222 | pmm | Rectángulo | 1/4 | Se refleja la celda primitiva y se rota 180º el conjunto.
8 | 22x | pgg | Rectángulo | 1/4 | Se refleja con desplazamiento la celda primitiva y se rota 180º el conjunto
9 | 22* | pmg | Rectángulo | 1/4 | Se rota 180º la celda primitiva y se refleja el conjunto.
10 | 442 | p4 | Cuadrado | 1/4 | Se rota 90º (sucesivas veces) la celda primitiva.
11 | *442 | p4m | Cuadrado | 1/8 | Se refleja la celda primitiva y se rota 90º (sucesivas veces) el conjunto.
12 | 4*2 | p4g | Cuadrado | 1/8 | Se refleja la celda primitiva y se rota 90º (sucesivas veces) el conjunto.
13 | 333 | p3 | Hexágono regular | 1/3 | Se rota 120º (sucesivas veces) la celda primitiva.
14 | *333 | p3m1 | Hexágono regular | 1/6 | Se refleja la celda primitiva y se rota 120º (sucesivas veces) el conjunto.
15 | 3*3 | p31m | Hexágono regular | 1/6 | Se refleja la celda primitiva y se rota 120º (sucesivas veces) el conjunto.
16 | 632 | p6 | Hexágono regular | 1/6 | Se rota 60º (sucesivas veces) la celda primitiva.
17 | *632 | p6m | Hexágono regular | 1/12 | Se refleja la celda primitiva y se rota 60º (sucesivas veces) el conjunto.

Observemos que cada nuevo tipo de azulejo añade nuevas posibilidades gracias a que posee algunas simetrías que los azulejos anteriores no poseían:

- El azulejo romboide solo posee simetría rotacional de orden 2.

- El azulejo rombo añade ejes de reflexión que pasan por vértices opuestos (diagonales).

- El azulejo rectángulo añade ejes de reflexión que pasan por los puntos medios de lados opuestos.

- El azulejo cuadrado añade rotaciones de orden 4.

- El azulejo diamante (o hexágono regular) añade rotaciones de orden 3 y 6.

Ampliación: Un cuadro de clasificación de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de reconocimiento del grupo.

La composición y el significado de "grupo"

Una composición de isometrías es el resultado de aplicar sucesivamente dos o más isometrías. El resultado siempre será otra isometría. Todas las composiciones de isometrías de un grupo son también isometrías de ese grupo. Como existen muchas formas (en realidad, infinitas) de aplicar una isometría tras otra, podríamos pensar que acabarán apareciendo más tipos de isometrías. No es así. Lo que sucede es que los tipos de isometrías están fuertemente relacionadas entre sí por lo que muchas composiciones producen los mismos tipos. Por ejemplo, el grupo "632" tiene rotaciones de orden 6, orden 3 y orden 2, pero cualquier composición de esas rotaciones vuelve a producir una de ellas (o se anulan entre sí).

No obstante, cada grupo de mosaicos tiene infinitas isometrías distintas (aunque todas ellas de alguno de los cuatro tipos) debido a que podemos realizar un número infinito de traslaciones distintas.