Soluciones

1. El punto de Fermat F ocupa una posición en el interior del triángulo cuando su ángulo mayor no alcanza los 120º y coincide con el vértice de ese ángulo en caso contrario. Nunca cae en el exterior.

2. (Se comprueba que la suma siempre es mayor que la obtenida desde F, a no ser que P coincida con F.)

3. Se ha unido mediante segmentos el punto F con los vértices del triángulo ABC y se han trazado perpendiculares por los vértices a esos segmentos. Estas perpendiculares forman un nuevo triángulo A'B'C'.

4. Cada uno de los tres ángulos mide 120º porque F es el primer punto isogónico y se encuentra en el interior del triángulo, así que ve cada lado bajo el mismo ángulo de 120º.

5. Cada ángulo interior del triángulo A'B'C' mide 60º porque en cada cuadrilátero hay dos ángulos rectos y otro de 120º, así que el cuarto ángulo ha de ser de 60º para que los cuatro sumen 360º.

6. Se cumple que AF + BF + CF = a' + b' + c' porque la suma de las distancias de F a los lados y la suma de las distancias de P a los lados debe ser la misma, ya que el teorema de Viviani establece que esa suma es constante para cualquier punto del interior del triángulo.

7. Se cumple que a' ≤ AP, b' ≤ BP, c' ≤ CP porque, en cada caso, la distancia de P al lado es la mínima longitud entre P y cualquier punto de ese lado.

8. Tenemos que AF + BF + CF = a' + b' + c' ≤ AP + BP + CP, entonces, AF + BF + CF ≤ AP + BP + CP.

9. La anterior desigualdad demuestra que F es efectivamente el punto de Fermat porque se cumple independientemente de la posición de P, así que la suma de las distancias de F a los vértices es menor o igual que la suma de las distancias a los vértices desde cualquier punto que elijamos.