## Números metálicos

La familia de los números metálicos, introducida por la matemática argentina Vera de Spinadel en 1994, está formada por las raíces positivas de las ecuaciones de la forma x2 = p x + q, o su equivalente x2 − p x − p = 0, donde p y q son números enteros positivos.
Algunos de estos números metálicos tienen nombre propio y son muy conocidos. El más famoso de todos ellos se obtiene cuando p = 1 y q = 1. En tal caso la ecuación que nos resulta es x2 − x − 1 = 0, cuya raíz positiva es el número de oro:

En la siguiente tabla puedes ver los nombres de algunos de los números metálicos:

p | q | Nombre del número
1 | 1 | Número de oro
2 | 1 | Número de plata
3 | 1 | Número de bronce
1 | 2 | Número de cobre
1 | 3 | Número de níquel
2 | 2 | Número de platino

Algunas propiedades comunes de los números metálicos son fundamentales en campos actuales de la investigación sobre la estabilidad de sistemas físicos, desde la estructura interna del ADN hasta las galaxias astronómicas.

Preguntas

1. Observa la construcción. Fíjate que obtenemos en el eje horizontal el valor de un determinado número metálico a partir de la intersección de la recta que hemos dibujado y de la parábola. ¿Cuál es la ecuación de la parábola que aparece dibujada? ¿Y la de la recta?
   ¿Qué relación tienen esas gráficas con la ecuación que tratamos de resolver? ¿Por qué la intersección de la recta y la parábola nos permite calcular las raíces de la ecuación x2 – p x – q = 0?

2. Completa la siguiente tabla. Para ello resuelve la ecuación x2 − p x − q = 0 para los valores de p y q que en cada caso corresponden y, a continuación, comprueba tus resultados con la aplicación:

p | q | Símbolo | Nombre del número | Valor exacto | Valor aproximado
1 | 1 | Φ | Número de oro |  |
2 | 1 | σ2,1 | Número de plata |  |
3 | 1 | σ3,1 | Número de bronce |  |
1 | 2 | σ1,2 | Número de cobre |  |
1 | 3 | σ1,3 | Número de níquel |  |
2 | 2 | σ2,2 | Número de platino |  |

3. ¿Cuál es la expresión general del número metálico de orden (p, q) que representamos como σp,q?

4. ¿Podemos expresar siempre en forma decimal el valor exacto de un número metálico? ¿Por qué?

5. ¿Qué relación debe existir entre p y q para que el número metálico σp,q sea un número entero?

6. Prueba que σ4,4 = 2 σ2,1

7. Halla la relación existente entre el número de bronce y el de níquel.

8. Prueba que: σ4,1= Φ3

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