Soluciones Un cuadro de clasificación de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de reconocimiento del grupo.

1. El azulejo tiene simetría de reflexión y de rotación de orden 3.

2. El azulejo se ha dividido en seis partes uniendo el centro del hexágono regular con los vértices.

3. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja y el conjunto rota 120º sucesivas veces en cada uno de los azulejos alrededor de su centro, es decir, es sometido a una rotación de orden 3 con centro de rotación en el centro del azulejo. Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero. Equivalentemente, obtenemos el mismo resultado reflejando el motivo sucesivamente.

4. Los vectores indican las direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado del diamante equivalente al hexágono regular. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de los vectores base de traslación).

5. Al activar la casilla "Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros de rotación del motivo decorativo. Pero también aparecen dos conjuntos de centros más debido a la repetición (por traslación) del azulejo en el mosaico.

6. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" aparece un haz de rectas paralelas (violetas) indicando los espejos o ejes de reflexión. Como cada azulejo tiene su espejo, al crear el mosaico se alinean los espejos formando ese haz. Otros dos haces de rectas (amarillas) aparecen como consecuencia de la rotación del espejo en la construcción del azulejo.

7. Los ejes de reflexión desplazada se sitúan en medio de los ejes de reflexión.

8. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

9. Al rotarla 120º la copia coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de igual forma para construir el azulejo.

10. El único punto de la copia que coincide en todo el proceso de rotación con el original es el extremo de la chincheta.

11. La copia rotada 120º coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se encuentre en uno de los centros de rotación rojos, pues la simetría de rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada rotación con centro en los puntos rojos es siempre 3. Cuando el ángulo es de 240º la copia vuelve a coincidir con el original.

12. Se puede comprobar la independencia de los tres centros destacados.

13. Esta es una de las maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay un centro de rotación de orden 3. Pero al formar el mosaico añadimos un conjunto de traslaciones. Al componer estar traslaciones con la rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original (traslación) equivale a rotar el primero 120º alrededor de los vértices compartidos debido a que el azulejo original ya poseía esa simetría.

14. El segmento violeta representa el eje de simetría en esa dirección. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa misma dirección.

15. El segmento violeta representa el eje de simetría en esa dirección. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa misma dirección.

16. El grupo *333 tiene como isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo, las rotaciones de orden 3 sobre tres colecciones independientes de centros de rotación, tres conjuntos de espejos (reflexiones) y tres conjuntos de reflexiones desplazadas entre ellos.

17. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.