Soluciones Un cuadro de clasificación de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de reconocimiento del grupo.

1. El azulejo tiene simetrías de reflexión y rotación de orden 4.

2. El azulejo se ha dividido en cuatro partes por las dos medianas (rectas que unen puntos medios de lados opuestos paralelos) del rectángulo y cada una de esas partes en dos mitades por una diagonal del azulejo.

3. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja en la diagonal de cada azulejo, y después rota el conjunto 90º sucesivamente alrededor del centro de cada cuadrado. Esto se debe a que esas mismas acciones son las que permiten repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero. La forma de crear este azulejo es similar a la forma de crear el azulejo del grupo 7 (*2222) pues ambos usan una reflexión y una rotación, pero se distinguen en el orden de la rotación.

4. Los vectores indican las direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado del azulejo. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de los vectores base de traslación).

5. Al activar la casilla "Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros de rotación del motivo decorativo. Pero también aparecen dos conjuntos de centros más debido a la repetición (por traslación) del azulejo en el mosaico.

6. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" aparece un haz de rectas paralelas (violetas) indicando los espejos o ejes de reflexión. Como cada azulejo tiene su espejo, al crear el mosaico se alinean los espejos formando ese haz. Otros tres haces de rectas (amarillas) aparecen como consecuencia de la rotación del espejo en la construcción del azulejo.

7. Los ejes de reflexión desplazada se encuentran a medio camino entre los ejes oblicuos de reflexión.

8. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

9. Al rotarla 90º la copia coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado (o pudo serlo) de igual forma para construir el azulejo. La coincidencia se da en cada centro de rotación señalado con un punto rojo. Las rotaciones de los puntos rojos son de orden 4. El único punto de la copia que coincide en todo el proceso de rotación con el original es el extremo de la chincheta.

10. La copia rotada 90º coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se encuentre en uno de los centros de rotación rojos, pues la simetría de rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada rotación con centro en los puntos rojos es siempre 4. Cuando el ángulo es de 180º o 270º la copia vuelve a coincidir con el original.

11. La copia rotada 180º coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se encuentre en uno de los centros de rotación verde, pues son centros de orden 2. Cuando el ángulo es de 90º o 270º la copia no coincidirá con el original.

12. Se puede comprobar la independencia de los tres centros destacados.

13. Esta es una de las maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay un centro de rotación de orden 4. Pero al formar el mosaico añadimos un conjunto de traslaciones. Al componer estas traslaciones con la rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original (traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía esa simetría.

14. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa misma dirección. Lo mismo sucede con la reflexión vertical.

15. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión en esa dirección. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa misma dirección.

16. El grupo *442 tiene como isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo, las reflexiones sobre cuatro conjuntos de espejos (formando 45º entre ellos), dos conjuntos de reflexiones desplazadas perpendiculares y tres conjuntos independientes de rotaciones (con centros en los espejos), dos de ellos de orden 4 y uno de orden 2.

17. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.