Soluciones

1. El azulejo se ha dividido en dos partes uniendo los puntos medios de los dos lados verticales (en adelante llamaremos mediana a esta recta).
   Las simetrías no dependen del motivo decorativo (a no ser que este disponga de ellas) así que si cambiamos el dibujo del cisne por otro motivo cualquiera, que no tenga simetría, no podrán aparecer más o menos simetrías que las que aparecen con el cisne.
   Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) rota 180º en cada uno de los azulejos alrededor de su centro, es decir, es sometido a una rotación de orden 2 con centro de rotación en el centro del azulejo. Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero.

2. Los vectores indican la dirección y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al ancho del azulejo.
   Al activar la casilla "Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros de rotación del motivo decorativo. Pero también aparece un conjunto de centros más debido a la repetición (por traslación) del azulejo en el mosaico.
   Al activar la casilla "Ejes de reflexión" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha sido reflejado (ha sido una reflexión desplazada, no una reflexión).

3. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

4. Al rotarla 180º la copia coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de igual forma para construir el azulejo. El único punto de la copia que coincide en todo el proceso de rotación con el original es el extremo de la chincheta.
   La copia rotada 180º coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se encuentre en uno de los centros de rotación, pues la simetría de rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada centro es siempre 2.
   Esta es una de las maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay una isometría, la rotación de orden 2. Pero al formar el mosaico añadimos un conjunto de traslaciones. Al componer estar traslaciones con la rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original (traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía esa simetría.
   Si efectuamos dos rotaciones de orden 2 seguidas de la copia obtenemos el original, realizar 3 rotaciones equivale a realizar solo 1, 4 rotaciones a no realizar ninguna, lo mismo 20 y 100. La composición de 1001 rotaciones de orden 2 equivale a una rotación de orden 2.
   Una composición de traslación y rotación (en cualquier orden) equivale a una rotación.

5. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión.
   El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión vertical. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión.
   El segmento discontinuo rojo representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión desplazada.

6. El grupo 22∞ tiene como isometrías las traslaciones determinadas por el ancho del azulejo y las rotaciones de orden 2 sobre dos colecciones independientes de centros de rotación.

7. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.