Soluciones

1. El signo positivo corresponde al sentido antihorario.

2. Efectivamente, la curva tiene simetría rotacional de orden 5, como se comprueba con el repintado.

3. Al elevar el número de Volantes a 4 y a 5 y repetir el proceso anterior se observa que se sigue conservando la simetría rotacional del orden 5.

4. Al elevar el número de Volantes a 6 y repetir el proceso anterior se observa que ahora no se conserva la simetría rotacional del orden 5.

5. Las velocidades válidas del sexto volante que devuelven la simetría rotacional de orden 5 al trazado son -19 más cualquier múltiplo de 5: -19, -14, -9, -4, 1, 6, 11 y 16.

6. Efectivamente, al igualar todas las velocidades el trazado es siempre circular.

7. Volantes = 2, v1 = 1, v2 = 0. Como el punto del segundo volante no gira, siempre se encuentra en la misma posición respecto al centro del volante, así que su recorrido es el mismo que ese centro, solo que trasladado por el radio del segundo volante.

8. Volantes = 2, v1 = 1, v2 = -1. Al girar en sentido contrario, hay momentos en los que el punto del segundo volante invade el interior del primer volante y otros en los que se aleja hacia el exterior. Esto origina la aparición de una "excentricidad" (la circunferencia se transforma en elipse).

9. Volantes = 2, v1 = 1, v2 = -1, r1 = r2. Al igualar los radios, la elipse degenera en un segmento recto, ya que en ese caso el punto del segundo volante se encuentra en el vértice de un rombo opuesto al que ocupa el centro del primer volante. Por tanto, se moverá siempre en la diagonal horizontal de ese rombo.

10. Volantes = 2, v1 = 1, v2 = -1, r1 = r2. Cuando f2 toma los valores 90º, 180º y 270º, el punto del segundo volante avanza esos ángulos, provocando que el trazado gire justo la mitad de su valor (45º, 90º y 135º).

11. Se trata de jugar un poco con las figuras y observar las diferentes formas que se pueden obtener.

12. Se trata de jugar un poco con las figuras y observar las diferentes formas que se pueden obtener.

13. Los valores son todos del tipo (n, n + 5k).

14. La ley para que el trazado tenga simetría rotacional de orden 5 es que la diferencia de cualquier par de velocidades sea múltiplo de 5. Dicho de otra forma, todas las velocidades deben dejar el mismo resto al dividirlas entre 5. O si se prefiere, todas las velocidades marcan la misma hora en un reloj de 5 horas, o bien, todas ellas son congruentes módulo 5.

15. La ley para que el trazado tenga simetría rotacional de orden N es que la diferencia de cualquier par de velocidades sea múltiplo de N. Dicho de otra forma, todas las velocidades deben dejar el mismo resto al dividirlas entre N. O si se prefiere, todas las velocidades marcan la misma hora en un reloj de N horas, o bien, todas ellas son congruentes módulo N.

16. La ley es independiente del número de volantes.

17. La simetría rotacional es independiente de los radios y fases.

18. El sexto volante debe tener velocidad -16, 1 o 18.

19. Como 1, 2 y 3 no son congruentes módulo 2, ni 3, ni cualquier otro módulo, ya que la diferencia entre 1 y 2 no coincide con la diferencia entre 1 y 3, nunca provocarán la aparición de una simetría rotacional de ningún orden, sea cual sea la velocidad del cuarto volante (o quinto, o sexto...).

20. Las coordenadas (x, y) del punto que gira en el tercer volante son:
    x = r1 cos(v1 t) + r2 cos(v2 t + f2) + r3 cos(v3 t + f3)
    y = r1 sen(v1 t) + r2 sen(v2 t + f2) + r3 sen(v3 t + f3)