Soluciones

1. La igualdad Y = -1/X puede interpretarse como que el área del rectángulo de dimensiones X y "-Y" es 1.

2. Al aplicar una homotecia centrada en el origen con factor k, el punto (1, 0) se traslada a una distancia k veces 1, es decir, a (k, 0), y el punto (0, 1) se traslada a (0, k). Por tanto, el vértice en V (1, 1), se trasladará a V' (k, k). (Un razonamiento equivalente se obtiene aplicando el teorema de Tales.) Dicho de otra forma, el homólogo de (x, y) será siempre (k x, k y).

3. Como y/k = 1/(x/k), entonces y/k x/k = 1, es decir, x y = k2, de donde y = k2/x. (Por supuesto, operando con las fracciones se alcanza el mismo resultado.)

4. El significado geométrico que tiene el valor absoluto de la constante A, es decir, k2, es el del área del cuadrado determinado por el origen y el vértice de la hipérbola o de cualquier rectángulo determinado por el origen y un punto cualquiera de la hipérbola. El signo de A determina la colocación de la hipérbola (1º y 3º cuadrantes si es positivo, 2º y 4º si es negativo). Si el valor absoluto de A es k2, las coordenadas de los vértices serán (k, signo(A) k) y (-k, -signo(A) k).

5. Basta ver la ecuación y = A/x para poder afirmar, sin necesidad de ver la gráfica, que representa a una función impar porque si sustituimos "x" por "-x" la ordenada cambia de signo, que es justo el efecto que produce una reflexión a través del origen de coordenadas.

6. Las coordenadas de los vértices de la hipérbola y = 4/x son (2, 2) y (-2, -2), pues como A es 4, k ha de valer 2. Como las distancias de los focos al origen guardan la proporción , sus coordenadas serán (2, 2) y (-2, -2).

7. El área del rectángulo que tiene como par de vértices opuestos el origen de coordenadas y un punto de la hipérbola y = -7/x es el valor absoluto de -7, es decir, 7 unidades cuadradas.