Soluciones

1. Un cisne es el original y es el único que se puede mover, otro (más claro) es el resultado de aplicar la primera isometría y el tercero es el resultado final de aplicar ambas isometrías, que en este caso conserva la misma orientación (y por tanto el color) que el cisne original.

2. Se realiza primero la correspondiente al vector azul. Al activar la casilla Permuta, cambia el orden de la composición. La composición de dos traslaciones es conmutativa.

3. En este caso conserva la misma orientación (y por tanto el color) que el cisne original, pero la composición no es, en general, conmutativa (a no ser que compartan el mismo centro de giro).

4. La tabla queda así:

   Composición | ¿Conserva la orientación? (Sí, No) | ¿Es conmutativa? (Sí, No)
   T T o T T | Sí | Sí
   G T o T G | Sí | No
   S T o T S | No | No
   D T o T D | No | No
   G G o G G | Sí | No
   S G o G S | No | No
   D G o G D | No | No
   S S o S S | Sí | No
   D S o S D | Sí | No
   D D o D D | Sí | No

5. Las traslaciones forman un grupo propio, pues existe neutro (trasladar 0 unidades), la traslación contraria a una dada es la que posee el vector igual pero en sentido opuesto y al componer dos traslaciones se obtiene otra traslación (suma de los vectores correspondientes).

6. Los giros forman un grupo propio, pues existe neutro (giro de 0º), el giro contrario a uno dado es el que posee el mismo centro y ángulo igual pero en sentido opuesto y al componer dos giros se obtiene otro giro (esto no es evidente, pero se puede comprobar más adelante).

7. Las simetrías axiales y las reflexiones desplazadas no pueden formar grupo porque cambian la orientación, así que al componer dos de ellas cualesquiera volvemos a la orientación original, lo cual solo es posible mediante un giro o una traslación.

   Composición de... | ¿Forman grupo? (Sí, No)
   Solo traslaciones | Sí
   Solo giros | Sí
   Giros con traslaciones | Sí
   Solo simetrías axiales | No
   Solo reflexiones desplazadas | No

8. La isometría contraria a una simetría axial es ella misma.

9. La isometría contraria a una reflexión desplazada es otra reflexión desplazada.

10. Reinicia la aplicación. Activa la casilla Buscar. El pequeño deslizador verde que aparece te permite elegir la isometría (T, G, S o D). El cisne verde es el resultado de aplicarla. Modifica el vector verde hasta que el cisne verde coincida con el cisne resultado de la composición. Con ello, habrás comprobado que la composición de dos traslaciones es otra traslación. Haz lo mismo con el resto de las composiciones y cubre la siguiente tabla. Te ayudará tener en cuenta la orientación del cisne resultado de la composición (pregunta 4).

    Composición | La isometría resultante, en general, es... (T, G, S o D)
    T T o T T | T
    G T o T G | G
    S T o T S | D
    D T o T D | D
    G G o G G | G
    S G o G S | D
    D G o G D | D
    S S o S S | G
    D S o S D | G
    D D o D D | G

11. De todo lo anterior, se deduce que las cuatro isometrías forman un grupo, porque la composición de dos cualesquiera es otra isometría (respuesta anterior), existe neutro (respuesta 5 o 6) y cualquier isometría tiene una contraria (respuestas 5, 6, 8 y 9).