Soluciones Un cuadro de clasificación de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de reconocimiento del grupo.

1. El azulejo tiene forma de romboide. Al variar la posición del vértice, puede tomar como casos particulares forma de cuadrado, de rombo o de rectángulo (podría también tomar forma de diamante si el punto verde tuviese más libertad).

2. El azulejo se ha dividido en dos partes uniendo los puntos medios de dos lados opuestos paralelos.

3. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) rota 180º en cada uno de los azulejos alrededor de su centro, es decir, es sometido a una rotación de orden 2 con centro de rotación en el centro del azulejo. Esto se debe a que esa misma acción es la que permite repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero.

4. Los vectores indican las direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado del azulejo. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de los vectores base de traslación).

5. Al activar la casilla "Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del mosaico. Aparecen todos los centros de los azulejos, pues son centros de rotación del motivo decorativo. Pero también aparecen tres conjuntos de centros más debido a la repetición (por traslación) del azulejo en el mosaico.

6. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" no sucede nada porque el motivo decorativo no ha sido reflejado.

7. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

8. Al rotarla 180º la copia coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de igual forma para construir el azulejo. El único punto de la copia que coincide en todo el proceso de rotación con el original es el extremo de la chincheta.

9. La copia rotada 180º coincidirá con el original siempre que el extremo de la chincheta se encuentre en uno de los centros de rotación, pues la simetría de rotación del azulejo se transfiere a todo el mosaico. El orden de cada centro es siempre 2.

10. El grupo 333 tendrá tres centros independientes de rotación de orden 3, y el grupo 442 tendrá tres centros independientes de rotación, dos de orden 4 y uno de orden 2.

11. Esta es una de las maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay una isometría, la rotación de orden 2. Pero al formar el mosaico añadimos un conjunto de traslaciones. Al componer estar traslaciones con la rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original (traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía esa simetría.

12. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia no coincide con el original porque el mosaico no tiene simetría por reflexión.

13. Al reflejarla horizontalmente, las esquinas de la copia (paralelogramo azul) no coinciden con las esquinas originales porque el romboide no es simétrico respecto al eje horizontal (a no ser que le demos el aspecto particular de un rectángulo).

14. Si efectuamos dos rotaciones de orden 2 seguidas de la copia obtenemos el original, realizar 3 rotaciones equivale a realizar solo 1, 4 rotaciones a no realizar ninguna, lo mismo 20 y 100. La composición de 1001 rotaciones de orden 2 equivale a una rotación de orden 2.

15. Una composición de traslación y rotación (en cualquier orden) equivale a una rotación.

16. El grupo 2222 tiene como isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo y las rotaciones de orden 2 sobre cuatro colecciones independientes de centros de rotación.

17. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.