Soluciones Un cuadro de clasificación de los 17 grupos atendiendo a sus simetrías, según el orden de rotación y número de espejos, puede verse aquí. Esta clasificación también sirve como sistema de reconocimiento del grupo.

1. El azulejo tiene simetrías de rotación de orden 2, reflexión y reflexión desplazada.

2. El azulejo se ha dividido en cuatro partes por las dos medianas (rectas que unen puntos medios de lados opuestos paralelos) del rectángulo.

3. Al activar la casilla "Aplicar simetrías" el motivo decorativo (cisne) se refleja con desplazamiento en un eje entre la mediana y el lado de cada uno de los azulejos y después el conjunto rota 180º. Esto se debe a que esas mismas acciones son las que permiten repetir la celda primitiva hasta cubrir el azulejo entero. La forma de crear este azulejo es similar a la forma de crear el azulejo del grupo 7 (*2222) pues ambos usan una reflexión y una rotación de orden 2, pero se distinguen en la situación de los centros de rotación. Al quedar ahora el centro fuera del espejo, no se genera un segundo espejo perpendicular al primero.

4. Los vectores indican las direcciones y sentidos de traslación. Su longitud indica el paso mínimo. Cada vector es paralelo y de longitud igual al lado correspondiente del rectángulo. Hay más direcciones (infinitas) en las que se pueda aplicar una traslación, basta realizar cualquier composición usando las dos traslaciones básicas (esto equivale a cualquier combinación lineal de los vectores base de traslación).

5. Al activar la casilla "Centros de rotación" aparecen todos los centros de rotación del mosaico. Aparecen todos los que ocupan la posición sobre la que rotó el motivo en cada azulejo, pero también aparece un conjunto de centros más debido a la repetición (por traslación) del azulejo en el mosaico.

6. Al activar la casilla "Ejes de reflexión" aparece un haz de rectas paralelas (violetas) indicando los espejos o ejes de reflexión. Como cada azulejo tiene su espejo, al crear el mosaico se alinean los espejos formando ese haz.

7. Los ejes (verticales) de reflexión desplazada se encuentran a medio camino entre las medianas y los lados.

8. Para que vuelva a coincidir con el original, la copia debe desplazarse como mínimo un azulejo. La isometría que corresponde a esta simetría por desplazamiento se llama traslación.

9. Al rotarla 180º la copia coincide con el original porque el motivo decorativo fue rotado de igual forma para construir el azulejo. La coincidencia se da en cada centro de rotación señalado con un punto rojo. Todas las rotaciones son de orden 2.

10. Se puede comprobar la independencia de los dos centros destacados.

11. Esta es una de las maravillas de los grupos de isometrías. En el azulejo solo hay un centro de orden 2. Pero al formar el mosaico añadimos un conjunto de traslaciones. Al componer estas traslaciones con la rotación no solo se traslada el centro de rotación del azulejo sino que además aparecen nuevos centros de rotación gracias a la simetría del azulejo. Por ejemplo, colocar un azulejo junto al original (traslación) equivale a rotar el primero 180º alrededor del punto medio del lado compartido debido a que el azulejo original ya poseía esa simetría.

12. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión horizontal. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión en esa misma dirección.

13. El segmento violeta representa el eje de simetría de la reflexión desplazada. La copia coincide con el original porque el mosaico tiene simetría por reflexión desplazada en esa misma dirección.

14. Aunque en la construcción del azulejo hayamos empleado solo una reflexión (horizontal) esto no significa que el propio azulejo carezca de la otra reflexión desplazada (vertical). La posee debido a que la composición de una reflexión y una reflexión desplazada perpendiculares equivale a la rotación de orden 2.

15. Al componer, en cualquier orden, una reflexión con una rotación de orden 2 con centro fuera del espejo obtenemos una reflexión desplazada.

16. El grupo 22* tiene como isometrías las traslaciones determinadas por los lados del azulejo, las reflexiones con eje en la mediana y el lado paralelo, las reflexiones desplazadas con ejes entre la otra mediana y el lado del azulejo, y dos conjuntos independientes de rotaciones de orden 2.

17. Los mejores diseños libres suelen ser los que sacan partido de las simetrías, acentuando el movimiento de traslación y los efectos de centros de rotación y espejos cuando los haya.