Soluciones

1. Se percibe con bastante claridad que aparece más a menudo el semáforo en rojo que en verde, es decir, sucede más a menudo que la aguja toque alguna de las líneas de la trama que no las toque.

2. Como era fácil suponer, las posibilidades de que al caer la aguja toque alguna de las líneas de la trama disminuyen a medida que acortamos su longitud: cuanto más corta es la aguja más probable es que no toque una de las líneas de la trama.

3. Solamente se trata de observar lo que ocurre al activar la animación.

4. Tomando los datos de varias simulaciones y hallando el valor medio, el resultado obtenido será aproximadamente 0,64.

5. Al aumentar el valor de n, las variaciones de p con respecto al valor medio obtenido en el apartado anterior serán cada vez menores. La probabilidad que cabe asignar al suceso sería 0,64, que es el valor al que se acerca p. Por ello cabe esperar que el número de agujas que toquen alguna de las rayas de la trama al hacer 1000 lanzamientos sea de unas 640.

6. Repitiendo varias veces la simulación, anotando en cada caso el valor de p y hallando el valor medio, el resultado que se obtiene es aproximadamente 0,32. Observamos que cuando la longitud de la aguja es de 0,5 unidades la probabilidad es aproximadamente la mitad que cuando la longitud era de 1 unidad.

7. Cuando la longitud es de 0,25, la probabilidad es aproximadamente la mitad que en el caso anterior o, también, la cuarta parte de la que se obtenía cuando la longitud era 1. Con longitudes de 0,2, 0,4, 0,6 y 0,8 los valores de p resultan, aproximadamente, 0,13, 0,25, 0,38 y 0.51, respectivamente. Concluimos que la probabilidad estudiada es directamente proporcional a la longitud de la aguja.

8. Al calcular el valor medio el valor que se obtiene es, aproximadamente, 3,14.

9. La probabilidad, del suceso "lanzar una aguja sobre el rayado y que toque una de las líneas paralelas", cuando la longitud es 0,5, es:

10. La probabilidad p, en función de la longitud l de la aguja viene dada por la expresión:

> NOTA: La fórmula anterior es aplicable cuando la distancia entre las rayas rectas paralelas es de 1 unidad y la longitud de la aguja es menor o igual que dicha distancia. Para una distancia d y para valores de l menores o iguales que d la probabilidad vendría dada por la expresión: