Soluciones

1. Tenemos que:

   1. Las distancias de ese punto a las rectas de los lados no permanecen constantes al mover el punto.

   2. La suma de distancias de ese punto a las rectas de los lados permanece constante al mover el punto por el interior del triángulo.

   3. El valor de esa suma cambia al variar el tamaño del triángulo.

   4. Cuando se mueve el punto fuera del triángulo, la suma de distancias a las rectas de los lados no se mantiene constante.

   5. Distinguimos primero entre puntos interiores y exteriores al triángulo. En el caso de ser interior, consideramos todas las distancias positivas, pero en el caso de que el punto elegido sea exterior, tomamos como negativa cada distancia al lado opuesto al vértice cuyo ángulo interior contenga a ese punto. La suma de estas distancias, con su signo, es siempre constante para cualquier punto del plano.

2. Tenemos que:

   1. La suma de las longitudes de a, b y c equivale a la altura del triángulo.

   2. Cuando el punto se encuentra fuera del triángulo, la suma sigue equivaliendo a la altura del triángulo siempre que se consideren los signos negativos ya mencionados.

3. Tenemos que:

   1. El área del triángulo ABC mide (L h)/2.

   2. Las áreas de los tres triángulos (rojo, amarillo y azul) miden (L a)/2, (L b)/2 y (L c)/2.

   3. De estas dos mediciones se deduce el teorema de Viviani, basta igualar las expresiones para obtener que a + b + c = h (que es constante).

4. La suma constante es el producto de la apotema por el número de lados, basta tomar como punto interior el centro del polígono regular. Así, todas las distancias medirán lo mismo (el valor de la apotema).

5. (Se comprueba en la aplicación.)
6. (Se comprueba en la aplicación.)