Soluciones

1. Para que el valor de "a" sea positivo, el punto A debe situarse por encima del eje OX, por debajo para que sea negativo y en el propio eje para que sea cero.

2. El ángulo que formará la recta con la horizontal cuando A se encuentre en la posición (1, 1) es de 45º.

3. Esos dos triángulos se han obtenido rotando 90º y -90º el primer triángulo.

4. Las coordenadas de uno de esos triángulos son O, (0, 1), (a, -1) y las del otro O, (0, -1), (-a, 1) porque girar 90º (en cualquier sentido) el triángulo original, equivale a intercambiar los ejes de coordenadas, es decir, permutar abscisa y ordenada, por lo que el punto (1, 0) pasa a ser el (0, 1) o el (0, -1) y el punto (1, a) pasa a ser el (a, -1) o el (-a, 1), dependiendo de los signos propios de cada cuadrante.

5. Los puntos (a, -1) y (-a, 1) son simétricos respecto a la recta roja porque ambos proceden de rotar 90º, en sentidos opuestos, el punto (1, a).

6. Efectivamente, después de suprimir las raíces queda: (x - a)2 + (y + 1)2 = (x + a)2 + (y - 1)2.

7. Desarrollando: x2 - 2a x + a2 + y2 + 2y + 1 = x2 + 2a x + a2 + y2 - 2y + 1, de donde 4y = 4a x, es decir, y = a x.

8. La pendiente de la recta que, además de pasar por el origen, pasa por el punto (1, 3) es 3, pues al avanzar 1 se asciende 3. De la que pasa por el punto (2, 8) es 4, pues por cada unidad que se avanza se asciende 8/2. De la que pasa por (-2, 6) es -3 porque por cada unidad que se avanza desde (-2, 6) a (0, 0) se desciende 6/2.

Nota: La razón trigonométrica que corresponde a la pendiente es la tangente del ángulo (positivo o negativo) que forma la recta con la horizontal.