Traslación y homotecia

Dos operaciones sencillas que podemos hacer con la gráfica de una función f son:

Trasladarla de posición.
Dilatarla o contraerla horizontal y verticalmente.

Traslación

Si v = (x₀, y₀) es el vector de traslación, un punto arbitrario P=(x, f(x)) de la gráfica de f se moverá a:

P+v = (x + x₀, f(x) + y₀)

Por lo tanto, la nueva función g cumplirá, para cualquier x:

g(x + x₀) = f(x) + y₀

O, equivalentemente:

g(x) = f(x - x₀) + y₀

Dilataciones y contracciones (homotecias)

Si k_x y k_y son dos números, podemos transformar un punto arbitrario P = (x, g(x)) de la gráfica de g en el punto:

(k_xx, k_y g(x))

Por lo tanto, la nueva función h cumplirá, para cualquier x:

h(k_xx) = k_y g(x)

O, equivalentemente:

h(x) = k_y g(x/k_x)

Con ayuda de la aplicación, intenta explorar las distintas posibilidades, variando los parámetros x₀, y₀, k_x, k_y.

También se puede cambiar la propia definición de la función f.

Preguntas

La función f está definida como f(x) = sin(x). Establece los valores x₀ = 1, y₀ = 0. (Para mover los deslizadores con facilidad y precisión, puedes hacer clic sobre ellos y pulsar las teclas de flecha o las teclas + y -.)
1. Describe qué le sucede a la gráfica de g (naranja) con relación a la de f (azul).
2. ¿Cuál es la expresión algebraica de g(x)?
Establece los valores x₀ = 1, y₀ = 1.
1. Describe qué le sucede a la gráfica de g con relación a la de f.
2. ¿En qué punto se situaría el origen de coordenadas de los ejes desplazados?
3. ¿Cuál es la expresión algebraica de g(x)?
Visualiza la gráfica de h. Establece los valores x₀ = 0, y₀ = 0, k_x = 2, k_y = 1.
1. Describe qué le sucede a la gráfica de g con relación a la de f y a la gráfica de h con relación a la de g.
2. ¿Cuál es la expresión algebraica de h(x)?
Establece los valores x₀ = 0, y₀ = 0, k_x = 2, k_y = 2.
1. Describe qué le sucede a la gráfica de g con relación a la de f y a la gráfica de h con relación a la de g.
2. ¿Cuál es la expresión algebraica de h(x)?
Establece los valores x₀ = 1, y₀ = 2, k_x = 3, k_y = 2.
1. Describe qué le sucede a la gráfica de g con relación a la de f y a la gráfica de h con relación a la de g.
2. ¿Cuál es la expresión algebraica de h(x)?
3. Desactiva la visualización de f, g y h, y activa la "Banda vertical". ¿Qué posición ocupa G respecto a F? ¿Y H respecto a G? Tal vez te resulte más sencillo si colocas la Banda de forma que F sea (0,0).
Usa el zoom (-) para comprobar el comportamiento de la función f al alejarse del origen. ¿Tiene alguna asíntota? ¿De qué tipo (horizontal, oblicua o vertical)? ¿Por qué?
Cambia por f(x) = x cos(x) la definición de f (cuida que haya un espacio entre x y cos(x)).
1. Usa el zoom (+) para comprobar el comportamiento de la función f en un intervalo pequeño alrededor del origen. ¿Es continua la función en x=0? ¿Por qué?
2. Usa el zoom (-) para comprobar el comportamiento de la función al alejarse del origen. ¿Tiene alguna asíntota? ¿De qué tipo (horizontal, oblicua o vertical)?
3. Describe qué le sucede a la gráfica de h al variar k_x. ¿Por qué? ¿Qué le pasa a la gráfica de h cuando k_x se vuelve negativo?
4. Describe qué le sucede a la gráfica de h al variar k_y. ¿Por qué? ¿Qué le pasa a la gráfica de h cuando k_y se vuelve negativo?